Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Tolaso J Kos · #1

Όπως λέει και ο τίτλος το παρακάτω όριο ζητείται να υπολογιστεί χωρίς L'Hôpital. Μου στάλθηκε πριν λίγες μέρες.

Να υπολογιστεί , λοιπόν , το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Όπως λέει και ο τίτλος το παρακάτω όριο ζητείται να υπολογιστεί χωρίς L'Hôpital. Μου στάλθηκε πριν λίγες μέρες.

Να υπολογιστεί , λοιπόν , το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}}$

Υπάρχουν πολλοί τρόποι. Ένας είναι να παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να εργαστούμε μόνο με πλευρικό όριο $x\to 0+$ καθώς η συνάρτηση είναι περιττή. Μετά, από τις ανισότητες

$\displaystyle{ 1 - \frac {x^2}{2} \le \cos x \le 1, \, x - \frac {x^3}{6} \le \sin x \le x }$

στο πρώτο τεταρτημόριο, εύκολα βλέπουμε ότι ο αριθμητής ικανοποιεί

$\displaystyle{ - \frac {x^2}{2} \le x \cos x - \sin x \le \frac {x^3}{6}}$

Και λοιπά. Απάντηση

.

Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους της μισής γωνίας.

alexandrosvets · #3

Tolaso J Kos έγραψε:Όπως λέει και ο τίτλος το παρακάτω όριο ζητείται να υπολογιστεί χωρίς L'Hôpital. Μου στάλθηκε πριν λίγες μέρες.

Να υπολογιστεί , λοιπόν , το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}}$

Καλησπέρα σας,

Ο παρακάτω τρόπος είναι σωστός;

Θεωρούμε την f(x)=xcosx-sinx

και πέρνουμε τον ορισμό της παραγώγου στο

και έχουμε ότι f'(0)=0

.

Από το όριο έχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} \frac{1}{x}=f'(0)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ και επειδή

f'(0)=0

τότε το όριο

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#4

alexandrosvets έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Όπως λέει και ο τίτλος το παρακάτω όριο ζητείται να υπολογιστεί χωρίς L'Hôpital. Μου στάλθηκε πριν λίγες μέρες.

Να υπολογιστεί , λοιπόν , το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}}$
Καλησπέρα σας,

Ο παρακάτω τρόπος είναι σωστός;

Θεωρούμε την και πέρνουμε τον ορισμό της παραγώγου στο και έχουμε ότι .

Από το όριο έχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} \frac{1}{x}=f'(0)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ και επειδή

τότε το όριο

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Και το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}}$ τι ρόλο παίζει;

alexandrosvets · #5

george visvikis έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Όπως λέει και ο τίτλος το παρακάτω όριο ζητείται να υπολογιστεί χωρίς L'Hôpital. Μου στάλθηκε πριν λίγες μέρες.

Να υπολογιστεί , λοιπόν , το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}}$
Καλησπέρα σας,

Ο παρακάτω τρόπος είναι σωστός;

Θεωρούμε την και πέρνουμε τον ορισμό της παραγώγου στο και έχουμε ότι .

Από το όριο έχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} \frac{1}{x}=f'(0)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ και επειδή

τότε το όριο

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Και το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}}$ τι ρόλο παίζει;

Το f'(0) δεν ειναι καθαρό μηδέν;Οπότε 0 επί οτιδήποτε δεν κάνει μηδεν;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#6

alexandrosvets έγραψε: Ο παρακάτω τρόπος είναι σωστός;

Αλέξανδρε, Καλησπέρα.

Δυστυχώς δεν είναι σωστός ο τρόπος.

alexandrosvets έγραψε:Από το όριο έχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} \frac{1}{x}=f'(0)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ και επειδή

τότε το όριο

Για να γράψεις την τελευταία ισότητα στον συλλογισμό σου πρέπει να εξασφαλίσεις ότι τα όρια υπάρχουν. Εδώ έχουμε την απροσδιόριστη μορφή $0\cdot \infty$ , οπότε έχουμε πρόβλημα.

#7

alexandrosvets έγραψε: Το f'(0) δεν ειναι καθαρό μηδέν;Οπότε 0 επί οτιδήποτε δεν κάνει μηδεν;

Όχι όταν το οτιδήποτε είναι κάποιο $\displaystyle{\infty }$

alexandrosvets · #8

george visvikis έγραψε:
alexandrosvets έγραψε: Το f'(0) δεν ειναι καθαρό μηδέν;Οπότε 0 επί οτιδήποτε δεν κάνει μηδεν;
Όχι όταν το οτιδήποτε είναι κάποιο $\displaystyle{\infty }$

Ααα..Οκ τότε.Εγώ νόμιζα ότι και το άπειρο συμπεριλαμβανόταν σε αυτή τη περίπτωση.
Σας ευχαριστώ!

#9

alexandrosvets έγραψε: Ααα..Οκ τότε.Εγώ νόμιζα ότι και το άπειρο συμπεριλαμβανόταν σε αυτή τη περίπτωση.
Σας ευχαριστώ!

Μπορείς να διαβάσεις εδώ μία πρόσφατη συζήτηση επί αυτού του θέματος.

#10

Tolaso J Kos έγραψε: Να υπολογιστεί , λοιπόν , το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}}$

Άλλη λύση, με πιο γνωστές ανισότητες: Θα χρησιμοποιήσω τις $\sin x \le x \le \tan x$ στο πρώτο τεταρτημόριο, που υπάρχουν στο Σχολικό βιβλίο. Την δεύτερη μπορούμε να την γράψουμε $x\cos x \le \sin x$ . Άρα για $x\to 0+$ (που αρκεί) έχουμε

$\displaystyle{ 0 \ge \frac {x \cos x - \sin x}{x^2} \ge \frac {x (\cos x - 1)}{x^2} = \frac {x(\cos ^2x - 1) }{x^2 (\cos x + 1)} =$

$\displaystyle{= -x\cdot \left ( \frac {\sin x }{x} \right ) ^2\cdot \frac {1}{\cos x + 1} \to -0\cdot 1^2 \cdot \frac {1}{2} =0}$

και λοιπά, από ισοσυγκλίνουσες.

Tolaso J Kos · #11

Άλλη μία λύση (όχι δική μου) η οποία είναι εκτός φακέλου αφού χρησιμοποιεί ολοκληρώματα και η οποία μου άρεσε.. Δε χρησιμοποιεί DLH.

Λόγω περιττότητας αρκεί να κοιτάξουμε το όριο στο $(0, \pi)$ . Οπότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} 0 &< \frac{\sin x - x \cos x}{x^2} \\ &=\frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} t \sin t \, {\rm d}t \\ &= \int_{0}^{x} \frac{t \sin t}{x^2} \, {\rm d}t\\ &\leq \int_{0}^{x} \frac{t \sin t}{t^2} \, {\rm d}t\\ &= \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, {\rm d}t \\ &< \int_{0}^{x} \, {\rm d}t \\ &=x \end{aligned}}$ Από κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε το ζητούμενο.

#12

Σωστά μεν, αλλά για επίπεδο Λυκείου έχει πρόβλημα καθώς μέσα στο ολοκλήρωμα εμφανίζεται

στον παρονοματή.

Δίνω πολύ απλούστερη λύση και χωρίς το πρόβλημα στον παρονομαστή.

Ξεκινώ από το

Tolaso J Kos έγραψε: $\displaystyle{\begin{aligned} 0 &< \frac{\sin x - x \cos x}{x^2} \\ &=\frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} t \sin t \, {\rm d}t \\ \end{aligned}}$

και συνεχίζω

$\displaystyle{ \le \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} t ^2 \, {\rm d}t = \frac{x}{3}$

και λοιπά.

Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Re: Χωρίς να περάσουμε από το ... νοσοκομείο

Μέλη σε σύνδεση