Ανισότητα (δική μου κατασκευή) - μάλλον δύσκολη

Κώστας Παππέλης · #1

Έστω

θετικοί πραγματικοί με $ab+bc+ca\geq3$ . Να δειχθεί η ανισότητα:

$\frac{a}{a^3+b+c} + \frac{b}{b^3+c+a} + \frac{c}{c^3+a+b} \leq1$

#2

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι

$\displaystyle{(a^3+b+c)\left(\frac{1}{a}+b+c\right)\geq (a+b+c)^2.}$

Επομένως $\displaystyle{\frac{a}{a^3+b+c}\leq\frac{1+ab+ac}{(a+b+c)^2}}$

Προσθέτοντας τις όμοιες με αυτήν, αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{3+2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\leq 1}$

που είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 3,}$ που ισχύει, αφού $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\geq 3$ .

Κώστας Παππέλης · #3

Ωραία λύση!! Το σκεπτικό στη δική μου ήταν το ίδιο σαν πορεία με το πείραγμα του παρονομαστή αλλά με λίγο πιο 'δύσκολες' ανισότητες. Δεν το είχα δει αυτό!

Ανισότητα (δική μου κατασκευή) - μάλλον δύσκολη

Ανισότητα (δική μου κατασκευή) - μάλλον δύσκολη

Re: Ανισότητα (δική μου κατασκευή) - μάλλον δύσκολη

Re: Ανισότητα (δική μου κατασκευή) - μάλλον δύσκολη

Μέλη σε σύνδεση