Μέτρο μιγαδικού

lefsk · #1

Καλησπέρα! Δοκίμασα διάφορα αλλά δεν μου βγαίνει η απόδειξη.
Έστω $\displaystyle{x, y \neq 0}$ . Αποδείξτε ότι $\displaystyle{ \left | x +y \right | = \left | x \right | + \left | y \right |}$ αν και μόνο αν υπάρχει $\displaystyle{ t > 0 }$ ώστε $\displaystyle{ x = ty }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Αφου $x\neq 0$ διαιρώντας έχουμε

$\left | \frac{y}{x}+1 \right |=\left | \frac{y}{x} \right |+1$

Θέτουμε $z=\frac{y}{x}$

Αρα $\left | z+1 \right |=\left | z \right |+1$

Ολα μη αρνητικά οπότε υψώνοντας στο τετράγωνο η τελευταία είναι ισοδύναμη με την

$\left | z \right |^{2}+\bar{z}+z+1=\left | z \right |^{2}+2\left | z \right |+1$

δηλαδή $\bar{z}+z=2\left | z \right |$

Αν z=a+ib

η τελευταία δίνει $2a=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Από αυτή παίρνουμε ότι $a\geq 0,b=0$

Επειδή $z\neq 0$ συμπεραίνουμε ότι z=a> 0

Θέτοντας $t=\frac{1}{a}$ έχουμε την ζητούμενη.

lefsk · #3

Σας ευχαριστώ πολύ, να 'στε καλά!

#4

lefsk έγραψε: Έστω $\displaystyle{x, y \neq 0}$ . Αποδείξτε ότι $\displaystyle{ \left | x +y \right | = \left | x \right | + \left | y \right |}$ αν και μόνο αν υπάρχει $\displaystyle{ t > 0 }$ ώστε $\displaystyle{ x = ty }$

Αν θέλεις και έναν γεωμετρικό συλλογισμό που δείχνει "τι τρέχει", το ακόλουθο σχήμα είναι το στάνταρ: Εύκολα βλέπουμε ότι τα διανύσματα που αναπαριστούν τους x,y

είναι συνευθειακά γιατί αλλιώς τα $x, \, y, \, x+y$ θα σχημάτιζαν τρίγωνο, οπότε θα είχαμε την γνήσια ανισότητα $\displaystyle{ \left | x +y \right | < \left | x \right | + \left | y \right |}$

Άρα τα διανύσματα στα x,y

είναι συνευθειακά, και εύκολα βλέπουμε ότι είναι ομόρροπα. Και λοιπά.

lefsk · #5

Ευχαριστώ πολύ κύριε Λάμπρου!

Μέτρο μιγαδικού

Μέτρο μιγαδικού

Re: Μέτρο μιγαδικού

Re: Μέτρο μιγαδικού

Re: Μέτρο μιγαδικού

Re: Μέτρο μιγαδικού

Μέλη σε σύνδεση