Απορία

manousos · #1

καλησπέρα στο

,
Πρόσφατα αντιμετωπίσαμε στο σχολείο την άσκηση 7α σελίδα 200 από το σχολικό κατεύθυνσης:

$\displaystyle{x^2 + f^2(x) = 1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [-1,1]}$ . Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$

Πρώτη λύση:
Αξιοποιώντας την δοθείσα σχέση έχουμε :
$\displaystyle{f(x)=0 \Leftrightarrow f^2(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x=\pm 1}$

Δεύτερη λύση:
Αξιοποιώντας την δοθείσα σχέση έχουμε :
$\displaystyle{f(x)=0 \Rightarrow x^2 + 0^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1}$
Με επαλήθευση στην δοθείσα διαπιστώνουμε πως όντως είναι λύσεις οι $\displaystyle{x= \pm 1}$ .

Το ερώτημα είναι αν υπάρχει κάποιο λάθος δεύτερη λύση η οποία ίσως μοιάζει λίγο ανορθόδοξη. Ο καθηγητής στο σχολείο είπε πως είναι λάθος αφού έτσι μπορούμε να χάσουμε ορισμένες ρίζες. (?)

Δεύτερο παράδειγμα :
Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$ αν γνωρίζετε ότι ισχύει $\displaystyle{f^4(x) + f^2(x) + 2x = x^2 +1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}$
Λύση:
Αξιοποιώντας την δοθείσα σχέση έχουμε :
$\displaystyle{f(x) = 0 \Rightarrow 0^4 + 0^2 + 2x = x^2 +1 \Leftrightarrow (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x = 1}$
Με επαλήθευση στην δοθείσα διαπιστώνουμε πως όντως είναι λύση η $\displaystyle{x= 1}$ αφού έχουμε $\displaystyle{f^4(1) + f^2(1) = 0 \Leftrightarrow f^2(1)[f^2(1) + 1] = 0 \Leftrightarrow f(1) = 0}$

Υπάρχει κάποιο πρόβλημα στο σκεπτικό αυτό ; Είναι κάπου ατελείς οι λύσεις ;

dement · #2

Δεν βλέπω πρόβλημα. Πηγαίνοντας με απλές συνεπαγωγές από την εξίσωση στις τιμές του

δεν μπορείς να χάσεις λύσεις. Αυτό που μπορεί να γίνει είναι να βρεις περισσότερες "λύσεις" από τις σωστές, γι' αυτό είναι αναγκαία η επαλήθευση.

Απορία

Απορία

Re: Απορία

Μέλη σε σύνδεση