Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθούν δύο μη μηδενικοί πραγματικοί με άθροισμα κύβων ίσο με

και άθροισμα αντιστρόφων ίσο με

.

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 11/12/16)

theano · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να βρεθούν δύο μη μηδενικοί πραγματικοί με άθροισμα κύβων ίσο με

και άθροισμα αντιστρόφων ίσο με .

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 11/12/16)

Ονομάζω

τους αριθμούς που ζητάμε.

Τότε $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-1 \Leftrightarrow \frac{b+a}{ab}=-1 \Leftrightarrow a+b=-ab$ και $a^3+b^3=4 \Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b) =4$ .

Ονομάζω το a+b=x

άρα

και έχω την εξίσωση $x^3-3(-x)x=4 \Leftrightarrow x^3+3x^2-4=0$ που έχει λύσεις τις x=-2,x=1

.

Για

είναι

και

προκύπτει η εξίσωση y^2+2y+2=0

που δεν έχει λύσεις.

Για x=1

είναι

και

δηλαδή

είναι οι λύσεις της εξίσωσης y^2-y-1=0

που είναι οι αριθμοί $\boxed {\frac{1- \sqrt{5}}{2}}$ και $\boxed {\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Friedoon · #4

Πρέπει να λύσουμε ουσιαστικά το σύστημα :
x^3 +y^3=4

(1) και

(2)
Το οποίο είναι συμμετρικό ως προς x και y και είναι προφανές πως χ και y είναι ετερόσημοι. Άρα μπορούμε να υποθέσουμε πως x>0

.
Τώρα από τη (2) έχουμε πως: y=-x/(x+1)

. Άρα αντικαταστώντας στην (1) έχουμε :
$x^3 - x^3/(x+1)^3 =4 \Leftrightarrow x^6+3x^5+3x^4-4x^3-12x^2-12x-4=0 \Leftrightarrow (x^2 -x-1)(x^2 +2x +2)^2=0 \Leftrightarrow x^2-x-1=0 \Leftrightarrow x=1/2+\sqrt{5}/2$ Άρα $y=-(\frac{1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}})=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ και $y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ και το συμμετρικό
$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ και $y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Γιώργος Απόκης · #5

Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Re: Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Re: Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Re: Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Re: Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων

Μέλη σε σύνδεση