Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

#1

Με χαρά διαπίστωσα σήμερα ότι κυκλοφόρησε το 15ο τεύχος του Εικοσιδωδεκαέδρου, με θέμα "Μιγαδικοί Αριθμοί και Γεωμετρία". Με την ευκαιρία αυτή ξανασκέφθηκα το ένα από τα δύο προβλήματα όπου υπάρχει λύση μου, το #26, και θα ήθελα να δώσω εδώ μία ακόμη λύση, αν και μη γεωμετρική.

Το πρόβλημα: Αν για το μιγαδικό τριώνυμο az^2+bz+c

, όπου $a\neq0$ , ισχύει η |az^2+bz+c|=d

για κάθε

τέτοιο ώστε |z|=1

, τότε

και

.

Η λύση: Για κάθε γωνία $\theta$ ισχύει, με $z=cos\theta+isin\theta$ και $z'=iz=-sin\theta+icos\theta$ , η |az^2+bz+c|=|az'^2+bz'+c|

, καθότι ισχύουν οι |az^2+bz+c|=d

και

. Ύστερα από τις πράξεις προκύπτει η ισότητα

$(a+c)b+2ac(cos\theta-sin\theta)=0,$

για κάθε γωνία $\theta$ πάντοτε. Θέτοντας $\theta=0$ και $\theta=\pi /2$ προκύπτουν οι ισότητες

(a+c)b+2ac=0

και

οπότε

και, λόγω της $a\neq0$ , c=0

. Αλλά η

δίνει

, και, λόγω της $a\neq0$ και πάλι, b=0

.

Από τις c=0

,

και την αρχική συνθήκη προκύπτει η |az^2|=d

για

, οπότε

.

[Το θέμα αυτό συζητήθηκε στο

... τον Απρίλιο του 2009 -- άλλες εποχές τότε, πιο αισιόδοξες...]

#2

Θα μπορούσε άραγε να επεκταθεί αυτό το αποτέλεσμα σε πολυώνυμα οποιουδήποτε βαθμού; Δοκίμασα ανάλογη μέθοδο σε τριτοβάθμιο πολυώνυμο ... και η υπόθεση μου φάνηκε αρκετά μπλεγμένη...

dement · #3

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το λήμμα:

Αν $\displaystyle \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ik \theta} = c$ για κάθε $\theta \in [0, 2 \pi )$ τότε c_0 = c

,

για $k \neq 0$ (προβολή Fourier).

Θέτοντας $z \equiv e^{i\theta}$ μπορούμε να εκφράσουμε το |P(z)|^2

με αυτόν τον τρόπο και, επειδή $a \neq 0$ , από το λήμμα ο σταθερός όρος του

μηδενίζεται. Τα υπόλοιπα είναι επαγωγή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να σημειώσω ότι το λήμμα που επικαλείται ο Δημήτρης είναι στοιχειώδες.
Δηλαδή μπορεί να αποδειχθεί με σχολική ύλη.
Συγκεκριμένα.

Αν $T(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
( $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$ )

και $x\in [0,2\pi ]\Rightarrow T(x)=0$

τότε $a_{i}=0,b_{i}=0$

To έβαλα σαν άσκηση στο
viewtopic.php?f=54&t=56731

#5

gbaloglou έγραψε:Θα μπορούσε άραγε να επεκταθεί αυτό το αποτέλεσμα σε πολυώνυμα οποιουδήποτε βαθμού; Δοκίμασα ανάλογη μέθοδο σε τριτοβάθμιο πολυώνυμο ... και η υπόθεση μου φάνηκε αρκετά μπλεγμένη...

Όχι και τόσο (και όχι λόγω των καίριων Fourier επισημάνσεων του Δημήτρη και του Σταύρου):

Ακολουθώντας την ίδια ακριβώς προσέγγιση που χρησιμοποίησα για το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο, παρατηρώ ότι η συνθήκη |pz^3+qz^2+rz+s|=d

για $p\neq0$ και |z|=1

οδηγεί, ύστερα από αρκετές είναι η αλήθεια πράξεις, στην

$pq+2pr(cos\theta-sin\theta)+ps(1-4cos\theta sin\theta)+qr+2qs(cos\theta-sin\theta)+rs=0,$

για κάθε γωνία $\theta$ : αυτό εύκολα ή δύσκολα -- γραμμικό ομογενές σύστημα 6 αγνώστων και απείρων το πλήθος εξισώσεων -- οδηγεί στην pq=pr=ps=qr=qs=rs=0

, οπότε, με δεδομένη την $p\neq0$ , προκύπτουν οι q=r=s=0

και

.

[Αναλόγως και για πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού, και χωρίς καν να χρειάζεται να βάλουμε στο παιγνίδι τον z'=iz

...]

#6

Ας το δούμε και με μιγαδική ανάλυση:

Έστω πολυώνυμο

ώστε

για κάθε

με

. Έστω $a_1,\ldots,a_r$ οι ρίζες του

μέσα στον μοναδιαίο δίσκο και $b_1,\ldots,b_s$ οι ρίζες του

έξω από τον μοναδιαίο δίσκο. (Με πολλαπλότητα.)

Τότε $f(z) = C(z-a_1) \cdots (z-a_r)(z-b_1) \cdots (z-b_s)$ για κάποιο $C \in \mathbb{C}$ . Θεωρώ το πολυώνυμο $g(z) = C(1-za_1) \cdots (1-za_r)(z-b_1) \cdots (z-b_s)$ .

Παρατηρώ ότι το

δεν έχει ρίζα μέσα στον μοναδιαίο δίσκο. Επίσης |g(z)| = d

για κάθε

με

.

Από το maximum modulus principle, είναι $\displaystyle{\max_{|z| \leqslant 1} |g(z)| = d.}$

Από το minimum modulus principle (αφού η

δεν μηδενίζεται στον μοναδιαίο δίσκο) είναι $\displaystyle{ \min_{|z| \leqslant 1} |g(z)| = d}$

Άρα για κάθε

με $|z| \leqslant 1$ έχουμε |g(z)| = d

. Επομένως μέσα στον μοναδιαίο δίσκο μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση $\log{g(z)}$ . Αυτή η συνάρτηση θα έχει σταθερό πραγματικό μέρος και επομένως (π.χ. από τις εξισώσεις Cauchy-Riemann) θα έχουμε ότι στον μοναδιαίο δίσκο η $\log(g(z))$ είναι σταθερή. Άρα και η g(z)

είναι σταθερή στον μοναδιαίο δίσκο.

Από εδώ λαμβάνουμε $a_1 = \cdots = a_r = 0$ και επιπλέον s=0

. Άρα

όπως θέλαμε να δείξουμε.

$\rule{500pt}{0.7pt}$

Ουσιαστικά η ίδια απόδειξη δείχνει ότι το ίδιο συμπέρασμα ισχύει ακόμη και αν η

είναι οποιαδήποτε μιγαδικώς παραγωγίσιμη συνάρτηση. Το μόνο επιπλέον στοιχείο που χρειάζεται είναι ότι κάθε τέτοια συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών (μετρώντας και την πολλαπλότητα) μέσα στον μοναδιαίο δίσκο.

#7

Demetres έγραψε:Ουσιαστικά η ίδια απόδειξη δείχνει ότι το ίδιο συμπέρασμα ισχύει ακόμη και αν η είναι οποιαδήποτε μιγαδικώς παραγωγίσιμη συνάρτηση. Το μόνο επιπλέον στοιχείο που χρειάζεται είναι ότι κάθε τέτοια συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών (μετρώντας και την πολλαπλότητα) μέσα στον μοναδιαίο δίσκο.

Είχα φανταστεί ότι υπάρχει κάποια επέκταση πέραν των πολυωνύμων, δεν ήμουν όμως σε θέση ούτε καν να την διατυπώσω!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Να διατυπώσω το γενικότερο που ισχύει.

Εστω $f:\left \{ z:\left | z \right |\leq 1 \right \}\rightarrow \mathbb{C}$

συνεχής συνάρτηση που είναι ολόμορφη στο $\left \{ z:\left | z \right |< 1 \right \}$

Αν $\left | z \right |=1\Rightarrow \left | f(z) \right |=d> 0$

τότε υπάρχει $n\in \mathbb{N}$ και $c\in \mathbb{C},\left | c \right |=d$

ώστε $f(z)=cz^{n}$

Η απόδειξη του Δημήτρη περνάει.
Το μόνο που πρέπει να αποκλείσουμε είναι ότι η συνάρτηση δεν έχει άπειρες ρίζες στο
$\left \{ z:\left | z \right |< 1 \right \}$

Γιατί αν είχε άπειρες ρίζες τότε το σύνολο των ριζών θα είχε ένα σημείο συσσώρευσης
εστω το

Προφανώς $\left | w \right |< 1$

Τότε όμως από την αρχή της ταυτότητας (η αρχή αναλυτικής συνέχισης) θα είχαμε

f(z)=0

στο $\left \{ z:\left | z \right |< 1 \right \}$
που είναι ΑΤΟΠΟ.

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Η απόδειξη του Δημήτρη περνάει.
Το μόνο που πρέπει να αποκλείσουμε είναι ότι η συνάρτηση δεν έχει άπειρες ρίζες στο
$\left \{ z:\left | z \right |< 1 \right \}$

Γιατί αν είχε άπειρες ρίζες τότε το σύνολο των ριζών θα είχε ένα σημείο συσσώρευσης
εστω το

Προφανώς $\left | w \right |< 1$

Τότε όμως από την αρχή της ταυτότητας (η αρχή αναλυτικής συνέχισης) θα είχαμε

στο $\left \{ z:\left | z \right |< 1 \right \}$
που είναι ΑΤΟΠΟ.

Σταύρο, ευχαριστώ που έκανες τον κόπο να τα γράψεις. Αυτά ακριβώς είχα υπόψη. Με την επιπλέον προσθήκη ότι κάθε ρίζα μιας ολόμορφης συνάρτησης έχει πεπερασμένη τάξη.

Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Re: Εικοσιδωδεκάεδρον 15.26

Μέλη σε σύνδεση