Normal

erxmer · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = log({10}^x – a)$ , με $a \in R$

Δ1. Αν

είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης $3^{2a} – 3^a – 6 = 0$ , να αποδείξετε ότι a = 1

.

Δ2. Αν $f(x) = log({10}^a – 1)$ ,

i) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της

ii) Να αποδείξετε ότι: $3 \cdot 10^{f(1)} + 20 \cdot 10^{ f(2)} + f(log101) + e^{ln7}= 2016$

iii) Να λυθεί η εξίσωση: f(2x) = f(x) + log11

iv) Να λυθεί η ανίσωση: $10^{f(x)} < 9$

#2

erxmer έγραψε:Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = log({10}^x – a)$ , με $a \in R$

Δ1.Αν είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης $3^{2a} – 3^a – 6 = 0$ , να αποδείξετε ότι .

Δ2.Αν $f(x) = log({10}^a – 1)$ ,

Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της

ii) Να αποδείξετε ότι: $3 \cdot 10^{f(1)} + 20 \cdot 10^{ f(2)} + f(log101) + e^{ln7}= 2016$

iii) Να λυθεί η εξίσωση:

iv) Να λυθεί η ανίσωση: $10^{f(x)} < 9$

Δ1. ${3^{2a}} - {3^a} - 6 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{{3^a} = \omega > 0} \left\{ \begin{gathered} {\omega ^2} - \omega - 6 = 0 \\ {3^a} = \omega > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} \omega = 3\,\, \vee \,\,\omega = - 2 \\ {3^a} = \omega > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow {3^a} = 3 \Leftrightarrow \boxed{\alpha = 1}$

Δ2.
i) ${10^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {10^x} > {10^0}\mathop \Leftrightarrow \limits^{g\left( t \right) = {{10}^t}\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha }$ $x > 0 \Rightarrow \boxed{D\left( f \right) = \left( {0, + \infty } \right)}$ .

ii) ${10^{f\left( x \right)}} = {10^{\log \left( {{{10}^x} - 1} \right)}} = {10^x} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {10^{f\left( 1 \right)}} = 9 \\ {10^{f\left( 2 \right)}} = 99 \\ \end{gathered} \right.$ και $f\left( {\log 101} \right) = \log \left( {{{10}^{\log 101}} - 1} \right)$ $= \log \left( {101 - 1} \right) = \log 100 = 2$

οπότε $3 \cdot {10^{f\left( 1 \right)}} + 20 \cdot {10^{f\left( 2 \right)}} + f\left( {\log 101} \right) + {e^{\ln 7}}$ $= 3 \cdot 9 + 20 \cdot 99 + 2 + 7 = 2016$ .

iii) $f\left( {2x} \right) = f\left( x \right) + \log 11 \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) - f\left( x \right) = \log 11 \Leftrightarrow$ $\log \left( {{{10}^{2x}} - 1} \right) - \log \left( {{{10}^x} - 1} \right) = \log 11 \Leftrightarrow$

$\log \dfrac{{{{10}^{2x}} - 1}}{{{{10}^x} - 1}} = \log 11 \Leftrightarrow \dfrac{{{{10}^{2x}} - 1}}{{{{10}^x} - 1}} = 11$ $\Leftrightarrow \ldots {10^{2x}} - 11 \cdot {10^x} + 10 = 0 \Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{gathered} {k^2} - 11 \cdot k + 10 = 0 \\ k = {10^x} > 0 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = 1\,\, \vee \,\,k = 10 \\ k = {10^x} > 0 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} {10^x} = 1\,\, \\ \vee \,\, \\ {10^x} = 10 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \\ \vee \\ x = 1 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{x = 1}$ .

iv) ${10^{f\left( x \right)}} < 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {10^x} - 1 < 9 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {10^x} < 10 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{g\left( t \right) = {{10}^t}\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha } \left\{ \begin{gathered} x < 1 \\ x > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{0 < x < 1}$

Στάθης

Normal

Normal

Re: Normal

Μέλη σε σύνδεση