Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου

#1

: Το κέντρο του μεσόκυκλου επί της διχοτόμου..png (49.51 KiB) Προβλήθηκε 1467 φορές

Έστω οι διχοτόμοι τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά, με $I\equiv BD\cap CE$ και το κέντρο του κύκλου Euler του τριγώνου $\vartriangle IDE$

Στάθης

#2

Έστω

, το σημείο τομής των δια των σημείων $D,\ E$ καθέτων ευθειών, επί των $CI,\ BI$ αντιστοίχως και έχουμε ότι το σημείο

ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle FDE$ .

Τα τρίγωνα $\vartriangle IDE,\ \vartriangle FDE$ έχουν κοινό Κύκλο Euler και επομένως, αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι η Ευθεία Euler του τριγώνου $\vartriangle FDE$ , περνάει από την κορυφή

του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

: Το κέντρο του Κύκλου Euler, επί της διχοτόμου.; f=173_t=56821.png (35.13 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές

$\bullet$ Έστω

, το σημείο τομής της ευθείας της διχοτόμου

από την μεσοκάθετη ευθεία του

και ας είναι $P,\ Q$ , οι προβολές του

επί των $AC,\ AB$ , αντιστοίχως.

Από KD = KE

και

, προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle PKD,\ \vartriangle QKE$ είναι ίσα και άρα, έχουμε $\angle ADK = \angle KEB\ \ \ ,(1)$

Από (1)

προκύπτει ότι το τετράπλευρο ADKE

είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει $\displaystyle \angle DKE = 180^{o} - \angle A = \angle B + \angle C\ \ \ ,(2)$

Από $FD\perp CI$ και $FE\perp BI$ έχουμε $\angle DFE = \angle CID\ \ \ ,(3)$

Από (2), (3)

και $\displaystyle \angle CID = \frac{\angle B + \angle C}{2}$ προκύπτει $\angle DKE = 2\angle DFE\ \ \ ,(4)$

Από (4)

συμπεραίνεται ότι το σημείο

ταυτίζεται με το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle FDE$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου

Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου

Re: Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση