Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 173
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μία άσκηση από το βιβλίο του κ.Μπάμπη Στεργίου που είχα βάλει σαν extra θέμα σε κάποιους καλούς μαθητές πριν χρόνια.
Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
Αντώνης Λουτράρης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Είναι . Η τομή με την δίνει και άραAntonis Loutraris έγραψε: Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
, οπότε αν ακέραιος τότε . Άρα το παίρνει το πολύ τιμές, τις , όπως θέλαμε να δείξουμε.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4098
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ας βελτιώσουμε λίγο το αποτέλεσμα του Αντώνη (Αντώνη χρόνια πολλά με υγεία):Antonis Loutraris έγραψε:Μία άσκηση από το βιβλίο του κ.Μπάμπη Στεργίου που είχα βάλει σαν extra θέμα σε κάποιους καλούς μαθητές πριν χρόνια.
Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τρία σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μια ακόμη λύση παρόμοια με του κ. Μιχάλη.Antonis Loutraris έγραψε:Μία άσκηση από το βιβλίο του κ.Μπάμπη Στεργίου που είχα βάλει σαν extra θέμα σε κάποιους καλούς μαθητές πριν χρόνια.
Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
Αφού είναι . Η τομή με την δίνει και άρα .
Η πολυωνυμική εξίσωση που προέκυψε έχει ακέραιους συντελεστές, οπότε πιθανές ακέραιες ρίζες της είναι μόνο οι διαιρέτες του σταθερού όρου της ( του ), δηλαδή οι αριθμοί .
Έτσι, τα ( πιθανά ) σημεία τομής είναι τα .
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Από τα δεδομένα καταλήγουμε στην πολυωνυμική εξίσωση (1) με ακέραιους συντελεστές και πιθανές ακέραιες ρίζες: .cretanman έγραψε:Ας βελτιώσουμε λίγο το αποτέλεσμα του Αντώνη (Αντώνη χρόνια πολλά με υγεία):Antonis Loutraris έγραψε:Μία άσκηση από το βιβλίο του κ.Μπάμπη Στεργίου που είχα βάλει σαν extra θέμα σε κάποιους καλούς μαθητές πριν χρόνια.
Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τρία σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.
Αλέξανδρος
Αν η (1) έχει ρίζα το , η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:( όπως στην άσκηση 11) .
Η πολυωνυμική εξίσωση έχει επίσης ακέραιους συντελεστές με σταθερό όρο , άρα έχει το πολύ δύο ακέραιες ρίζες.
Έτσι, η αρχική εξίσωση έχει τρεις το πολύ ρίζες.
Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν η εξίσωση (1) έχει ρίζα το .
Άρα, σε κάθε περίπτωση η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τρία σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Δίνω μία διαφορετική λύση, που αποφεύγει Vieta. Ένα από τα μικρά τεχνάσματα της λύσης είναι αυτό που σημείωσα με κόκκινο τρεις γραμμές παρακάτω.Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12
Έστω ότι η έχει ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Θα κάνω χρήση της ταυτότητας
Αν τυπική ρίζα της αρχικής θέτουμε . Ψάχνουμε τριτοβάθμια ως προς .
Η δοθείσα γράφεται . Υψώνουμε πέμπτη σύμφωνα με την παραπάνω ταυτότητα, οπότε
Μαζεύοντας όρους, είναι , η ζητούμενη.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4098
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Πολύ καλό!Mihalis_Lambrou έγραψε:Δίνω μία διαφορετική λύση, που αποφεύγει Vieta. Ένα από τα μικρά τεχνάσματα της λύσης είναι αυτό που σημείωσα με κόκκινο τρεις γραμμές παρακάτω.Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12
Έστω ότι η έχει ρίζες .
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις .
Θα κάνω χρήση της ταυτότητας
Αν τυπική ρίζα της αρχικής θέτουμε . Ψάχνουμε τριτοβάθμια ως προς .
Η δοθείσα γράφεται . Υψώνουμε πέμπτη σύμφωνα με την παραπάνω ταυτότητα, οπότε
Μαζεύοντας όρους, είναι , η ζητούμενη.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Προτείνω να αναπτύξουμε το γινόμενο: . Δίνει:Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10
Αν οι ρίζες της , να δείξετε ότι
Σχόλιο: Έχω δύο πολύ διαφορετικές ωραίες λύσεις.
Για να γλυτώσετε πράξεις μπορείτε να πάρετε ως δεδομένο (αν το χρειαστείτε) ότι
και
.
κ.λπ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!cretanman έγραψε:Ας βελτιώσουμε λίγο το αποτέλεσμα του Αντώνη (Αντώνη χρόνια πολλά με υγεία):Antonis Loutraris έγραψε:Μία άσκηση από το βιβλίο του κ.Μπάμπη Στεργίου που είχα βάλει σαν extra θέμα σε κάποιους καλούς μαθητές πριν χρόνια.
Aς είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά;
Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει την ευθεία το πολύ σε τρία σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.
Αλέξανδρος
Μια προσπάθεια λίγο διαφορετική από την ωραία προσπάθεια του nikkru.
Έστω το πολυώνυμο Είναι
Συνεπώς το πολυώνυμο παίρνει την μορφή :
Οι τετμημένες των σημείων τομής της και της είναι οι ρίζες της εξίσωσης
Πιθανές ακέραιες ρίζες της (*) είναι οι
Θα αποδείξουμε ότι η δεν μπορεί να έχει ρίζες συγχρόνως και την και την
Αν ρίζα της έχουμε:
.
Άρα : πολλαπλάσιο του (1)
Αν ρίζα της έχουμε:
.
Άρα : ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ πολλαπλάσιο του (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει άτοπο.
Επομένως η εξίσωση έχει το πολύ τρεις ακέραιες ρίζες.
Εύχομαι σε όλους Χρόνια Πολλά . Καλή και Δημιουργική Χρονιά!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
rek2 έγραψε:Προτείνω να αναπτύξουμε το γινόμενο: . Δίνει:Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10
Αν οι ρίζες της , να δείξετε ότι
Σχόλιο: Έχω δύο πολύ διαφορετικές ωραίες λύσεις.
Για να γλυτώσετε πράξεις μπορείτε να πάρετε ως δεδομένο (αν το χρειαστείτε) ότι
και
.
κ.λπ.
Κώστα, αυτή ακριβώς είναι η μία από τις δύο λύσεις που είχα κατά νου. Έχει βέβαια πολλές πράξεις εκτός αν πάρουμε ως δεδομένες τις ταυτότητες που έδωσα. Γράφω μια δεύτερη λύση που αποφεύγει τις πράξεις.
Παρατηρούμε ότι η ζητούμενη παράσταση μένει αναλλοίωτη αν αντικαταστήσουμε τα με για όποιο μας αρέσει. Οπότε χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε ότι που το πετυχαίνουμε παίρνοντας .
Η εξίσωση που έχει ρίζες τις είναι της μορφής
το οποίο είναι της μορφής (δεν έχει )
Τώρα, με δεδομένο ότι , ζητούμενη παράσταση παίρνει την μορφή (απλό)
.
Αν αναπτύξουμε το τελευταίο, και χρησιμοποιώντας ότι θα δούμε ότι ισούται με (άμεσο)
Με άλλα λόγια μας χρειάζεται μόνο ο συντελεστής του στην , που είναι άμεσος. Και λοιπά.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μάλιστα..., χειρουργείο...Mihalis_Lambrou έγραψε:rek2 έγραψε:Προτείνω να αναπτύξουμε το γινόμενο: . Δίνει:Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10
Αν οι ρίζες της , να δείξετε ότι
Σχόλιο: Έχω δύο πολύ διαφορετικές ωραίες λύσεις.
Για να γλυτώσετε πράξεις μπορείτε να πάρετε ως δεδομένο (αν το χρειαστείτε) ότι
και
.
κ.λπ.
Κώστα, αυτή ακριβώς είναι η μία από τις δύο λύσεις που είχα κατά νου. Έχει βέβαια πολλές πράξεις εκτός αν πάρουμε ως δεδομένες τις ταυτότητες που έδωσα. Γράφω μια δεύτερη λύση που αποφεύγει τις πράξεις.
Παρατηρούμε ότι η ζητούμενη παράσταση μένει αναλλοίωτη αν αντικαταστήσουμε τα με για όποιο μας αρέσει. Οπότε χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε ότι που το πετυχαίνουμε παίρνοντας .
Η εξίσωση που έχει ρίζες τις είναι της μορφής
το οποίο είναι της μορφής (δεν έχει )
Τώρα, με δεδομένο ότι , ζητούμενη παράσταση παίρνει την μορφή (απλό)
.
Αν αναπτύξουμε το τελευταίο, και χρησιμοποιώντας ότι θα δούμε ότι ισούται με (άμεσο)
Με άλλα λόγια μας χρειάζεται μόνο ο συντελεστής του στην , που είναι άμεσος. Και λοιπά.
Μιχάλη, να είσαι πάντα καλά, γερός, δυνατός, με εμπνεύσεις! Χρόνια πολλά!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Προτείνω την αντικατάσταση του με μία μιγαδική κυβική ρίζα της μονάδας π.χ. την .Mihalis_Lambrou έγραψε:Μία απλή:
ΑΣΚΗΣΗ 13
Αν δείξτε ότι
.
Οι δυνάμεις της με εκθέτες , όπως είναι γνωστό, είναι κατά σειρά οι , , 1,...
Από την ισότητα των μιγαδικών που προκύπτει παίρνουμε
και το συμπέρασμα έπεται άμεσα.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 14
Δείξτε ότι το πολυώνυμο (δηλαδή με ) δεν έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές.
Σχόλιο: Μπορεί να βγει π.χ. με κανόνα προσήμων του Descartes, αλλά ζητώ πιο απλά μέσα: Μπορούμε με χρήση τύπων Vieta συν ένα τεχνασματάκι.
Δείξτε ότι το πολυώνυμο (δηλαδή με ) δεν έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές.
Σχόλιο: Μπορεί να βγει π.χ. με κανόνα προσήμων του Descartes, αλλά ζητώ πιο απλά μέσα: Μπορούμε με χρήση τύπων Vieta συν ένα τεχνασματάκι.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Προφανώς οι ρίζες είναι μη μηδενικές, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι οι αντίστροφοι αριθμοί τους δεν είναι όλοι πραγματικοί.Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14
Δείξτε ότι το πολυώνυμο (δηλαδή με ) δεν έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές.
Σχόλιο: Μπορεί να βγει π.χ. με κανόνα προσήμων του Descartes, αλλά ζητώ πιο απλά μέσα: Μπορούμε με χρήση τύπων Vieta συν ένα τεχνασματάκι.
Άμεσα, από Vieta, οι αντίστροφοι αριθμοί των ριζών έχουν άθροισμα ίσο με μείον ένα και άθροισμα γινομένων ανά δύο ίσο με μονάδα, επομένως (απλό) το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με μείον ένα, άρα δεν είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4098
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 15
Αν οι είναι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε:
α) ότι οι είναι διακεκριμένοι.
β) ότι ο αριθμός είναι ακέραιος.
Αλέξανδρος
Αν οι είναι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε:
α) ότι οι είναι διακεκριμένοι.
β) ότι ο αριθμός είναι ακέραιος.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
a) Αν η ήταν διπλή ρίζα τότε θα ήταν ρίζα και της παραγώγου (παρακάτω δίνω και τρόπο χωρίς παραγώγους). Άρα θα ικανοποιούσε . Άρα ή , καμία από τις οποίες δεν ικανοποιεί την αρχική.cretanman έγραψε:Άσκηση 15
Αν οι είναι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε:
α) ότι οι είναι διακεκριμένοι.
β) ότι ο αριθμός είναι ακέραιος.
Χωρίς παραγώγους το ίδιο: Από Vieta θα είναι . Διώχνοντας το θα βρούμε , που είναι η ίδια με πριν.
β) Παρατηρούμε πρώτα ότι η παράσταση είναι πραγματική ως ίση της .
Επαγωγικά έπεται ότι όλες οι παραστάσεις της μορφής (το άθροισμα είναι ώς προς όλους συνδυασμούς των ανά ζεύγη) για δεδομένους φυσικούς , είναι πραγματικές: Για μικρά είναι το προηγούμενο. Για το επαγωγικό βήμα διαδικασίας ισχυρής επαγωγής ως προς έχουμε από τις και κυκλικά, ότι
που είναι ακέραιος ως άθροισμα ακεραίων.
Τέλος, εκτελώντας τις διαιρέσεις στην δοθείσα παράσταση και μαζεύοντας ομοειδείς όρους μπορούμε να την φέρουμε στην μορφή (απλό)
(οι προσθετέοι προέρχονται από δύο κλάσματα έκαστος)
που είναι άθροισμα ακεραίων, και ολοκληρώνει την απόδειξη.
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Θα δώσω μια λύση για την άσκηση 15 β η οποία γενικεύει το αποτέλεσμα.(υπάρχει και παραπάνω γενίκευση αλλά μην το παρατραβήξουμε πολύ)
Συγκεκριμένα.
Εστω πολυώνυμο με
που έχει διακεκριμένες ρίζες τα
Θεωρούμε το με .
Να δειχθεί ότι
Απόδειξη.
Κάνουμε την διαίρεση του με το
Επειδή ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο θα
έχουν ακέραιους συντελεστές.
Θα είναι με .
Επειδή και όμοια για τα άλλα έχουμε
Κάνοντας το ίδιο και στους άλλους όρους της παράστασης αυτή ισούται με
Συγκεκριμένα.
Εστω πολυώνυμο με
που έχει διακεκριμένες ρίζες τα
Θεωρούμε το με .
Να δειχθεί ότι
Απόδειξη.
Κάνουμε την διαίρεση του με το
Επειδή ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο θα
έχουν ακέραιους συντελεστές.
Θα είναι με .
Επειδή και όμοια για τα άλλα έχουμε
Κάνοντας το ίδιο και στους άλλους όρους της παράστασης αυτή ισούται με
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 16
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες της σε γεωμετρική πρόοδο είναι .
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες της σε γεωμετρική πρόοδο είναι .
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ας είναι οι ρίζες. Αυτές είναι σε γεωμετρική πρόοδο αν και μόνο αν ισχύειMihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες της σε γεωμετρική πρόοδο είναι .
Το ζητούμενο τότε είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας
και των σχέσεων
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες