Σωστό - Λάθος

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής.

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $f'(x)\neq 0$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty }$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty }$ , τότε η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Σωστότατο.
Το ένα όριο χρειάζετε.

Δικαιολόγηση

Αν η

δεν ήταν γνησίως αύξουσα θα υπήρχαν $a,b\in \mathbb{R},a< b$

με $f(a)\geq f(b)$

Αν f(a)=f(b)

τότε Rolle ΑΤΟΠΟ.

Αν f(a)>f(b)

τότε επειδή το όριο στο $-\infty$ είναι $-\infty$ .

θα υπάρχει c< a

με

Από Θ.Ε.Τ στο [c,a]

υπάρχει $d\in (c,a)$ με f(d)=f(b)

Από Rolle ΑΤΟΠΟ.

Π.Απόστολος · #3

Χρόνια Πολλά,

Μια διαφορετική προσέγγιση ίσως αποτελεί το

εξής:

Ως συνέπεια του θεωρήματος Darboux έχουμε

ότι η

διατηρεί πρόσημο και επομένως

ότι η

είναι γνήσια μονότονη.

Παίρνοντας ένα από τα όρια π.χ. στο

$-\infty$ έχουμε a<b

με

και επομένως από ένα Θ.Μ.Τ έχουμε τελικώς

θετική τιμή για την παραγωγό και συνεπώς ότι η

συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Άρα η πρόταση είναι σωστή.

Ευχαριστώ,

Απόστολος.

abgd · #4

Πιο κοντά στα σχολικά μαθηματικά:
Ισχύουν οι παρακάτω, (γνωστές), προτάσεις

1. Αν $\displaystyle{f^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}$ τότε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$

2. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και στο $\mathbb{R}$ τότε είναι γνησίως μονότονη.
3. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}$ τότε το σύνολο τιμών της θα είναι το $\displaystyle{\left(\lim_{x\to +\infty}f(x), \lim_{x\to -\infty}f(x)\right)}$

Σύμφωνα με αυτές είναι εύκολο να αποφανθούμε για την αλήθεια της πρότασης

M.S.Vovos έγραψε:
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $f'(x)\neq 0$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty }$ ή $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty }$ , τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Christos.N · #5

abgd έγραψε:Πιο κοντά στα σχολικά μαθηματικά:
Ισχύουν οι παρακάτω, (γνωστές), προτάσεις

2. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και στο $\mathbb{R}$ τότε είναι γνησίως μονότονη.

Έχω ενστάσεις στις (κατά πόσο είναι γνωστές προτάσεις εκτός της 3) που εννοείς και πολύ περισσότερο η ευκολία που τις μεταχειριζόμαστε σε αυτόν τον φάκελο, όμως ο Σταύρος αυτό δείχνει στην απόδειξη του, ότι μια συνάρτηση που είναι συνεχής και "1-1" τότε είναι γνησίως μονότονη. Εκμεταλλεύεται στο έπακρο δύο επιπλέον δεδομένα στοιχεία του προβλήματος, την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης και τις πληροφορίες που δίνονται από το πρόσημο των ορίων της.

Βέβαια αυτό το

Π.Απόστολος έγραψε:Ως συνέπεια του θεωρήματος Darboux έχουμε

πραγματικά μου δημιουργεί αρνητικές εντυπώσεις , δεν θα είχα καμιά ένσταση αν συνοδευόταν από το απλούστατο "μια απάντηση εκτός φακέλου είναι η ...... "

Αλήθεια πως θα μας φαινόταν η απάντηση "προφανώς Σωστή γιατί η πρώτη παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της._ " ;;;

Γκρινιάζω παραμονές της νέας χρονιάς γιατί δεν θέλω να το κάνω με το ξεκίνημα της νέας.

Χρόνια πολλά !!!!

Σωστό - Λάθος

Σωστό - Λάθος

Re: Σωστό - Λάθος

Re: Σωστό - Λάθος

Re: Σωστό - Λάθος

Re: Σωστό - Λάθος

Μέλη σε σύνδεση