ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2792
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Ιαν 02, 2017 10:32 pm

Πολλά συγχαρητήρια στον Στάθη!!!

Διαχρονικά έχει αποδείξει ότι είναι μεγάλος μαθηματικός και ειδικότερα Γεωμέτρης.

Η διεθνής αυτή αναγνώριση είναι δικαίωση για τους κόπους του.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2557
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Ιαν 02, 2017 11:25 pm

Με μεγάλη χαρά και συγκίνηση διαβάζω για την παρουσία του αγαπητού μας Στάθη στον ιστορικό πλέον ιστότοπο του Alexander Bogomolny (που είχα επισκεφθεί πολλές φορές στο παρελθόν, ειδικά όταν ζούσα ακόμη στις ΗΠΑ και ειδικότερα όταν δίδαξα εκεί Γεωμετρία Δευτεροβάθμιας το φθινόπωρο του 2003)!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1470
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Ιαν 02, 2017 11:38 pm

...Θερμά συγχαρητήρια στο γητευτή της Γεωμετρίας και :notworthy: :notworthy: :notworthy:
μας κάνεις όλους περήφανους και αποδεικνύεις για μιά ακόμη φορά ότι οι αξίες πάντα αναγνωρίζονται...
....το αναμέναμε και το είχαμε συζητήσει στη βράβευση του άλλου μέγιστου Γεωμέτρη Κώστα Βήττα...
με εκτίμηση φιλική και Μαθηματική και στο επόμενο...
Βασίλης Κακαβας


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3818
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιαν 03, 2017 10:43 am

Αγαπητοί συνάδελφοι και φίλοι,

Είμαι ιδιαίτερα συγκινημένος για τα καλά σας λόγια.

Δεν θεωρώ ιδιοκτησία το
θεώρημα.

Είμαι κατά της ιδιοκτησίας , μιας έννοιας που συνέλαβε ο ανθρώπινος εγκέφαλος και που δυστυχώς κατέστρεψε τον άνθρωπο.

Η πρόταση αυτή είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς του
:logo: και στο :logo: πρέπει να αφιερωθεί.

Η σύλληψή της απλή , είναι γραμμένη αναλυτικά εδώ (όγδοη δημοσίευση) και αν πάμε προς τα "πίσω" θα δούμε την "πηγή" (την απλή σε μια γραμμή άσκηση) που αποτελεί και την πιο απλή νομίζω απόδειξη του περιώνυμου Θεωρήματος.

Θέλω μόνο να μεταφέρω τα λόγια του
Σωτήρη Λουρίδα …. Αν δεν υπήρχε το :logo: θα ήμασταν ακόμα στις σπηλιές μας, σοφή κουβέντα.

Πράγματι όπως αποδείχτηκε η εφαρμογή του θεωρήματος (ιδιαίτερα συνδυασμένο με μετρικά δεδομένα ή προκύπτοντα) έδωσε «εύκολες» απαντήσεις σε αρκετά προβλήματα, από απλά μέχρι και αρκετά δύσκολα, όπως αναφέρει και ο Κώστας (Βήττας), αφού η καθετότητα είναι ΠΑΝΤΟΥ.

Ένα θέλω να πω μόνο: Δεν ξέρω αν είναι τυχαίο ότι η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ είναι γένους ΘΗΛΥΚΟΥ, είναι όμως η απόλυτη ΟΜΟΡΦΙΑ , η απόλυτη ΖΩΓΡΑΦΙΑ !!!!!!

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΑ σε όλα τα μέλη του :logo: . Συνεχίζουμε ακάθεκτοι για νέα επιτεύγματα, για νέα θεωρήματα.

Δεν έχει σημασία ποιος θα το συλλάβει , κάποιος πρέπει να σε «τσιγκλήσει» .

Δεν κερδίζει ο τελευταίος στη σκυταλοδρομία ,
κερδίζει η ΟΜΑΔΑ.

Υ.Σ. Τάκη Χρονόπουλε , σε ευχαριστώ θερμά που με δική σου πρωτοβουλία έκανες γνωστή αυτή την πρόταση. Να είσαι πάντα γερός και να προσφέρεις ανιδιοτελώς όπως πάντα.

Κώστα Βήττα (νονέ) , ευτυχώς που τα «βαφτίσια» έγιναν χωρίς Παπά :lol: . Σε ευχαριστώ από τα βάθη της καρδιάς μου.

Κώστα Ρεκούμη , ευχαριστώ που το ανέδειξες

Σας ευχαριστώ όλους

Με εκτίμηση
Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τρί Ιαν 03, 2017 11:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 751
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιαν 03, 2017 11:13 am

Θα ήθελα και εγώ, επί της ευκαιρίας, να δώσω συγχαρητήρια και να εκφράσω τον θαυμασμό μου στον κ.Κούτρα. Μπορεί κανείς πραγματικά με τις μέρες να χαζεύει τις δημοσιεύσεις του όπου με ευλάβεια και γεωμετρική ποιητικότητα αντιμετωπίζονται πολύ δύσκολα προβλήματα.

Με την ευχή να πέφτουμε πιο συχνά σε ελληνικά ονόματα στις μαθηματικές μας αναζητήσεις στο μέλλον.


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1070
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Τετ Ιαν 04, 2017 8:08 pm

Άλλη μία απόδειξη:
Αφήνουμε τα EZ, CD να ολισθήσουν πάνω στις δύο ευθείες, μέχρι να αποκτήσουν κοινό άκρο το O. Οι αντίστοιχες κάθετες, σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο MLNU το οποίο παραμένει αναλλοίωτο κατά την μετακίνηση, καθώς οι πλευρές του έχουν σταθερή διεύθυνση και τα ύψη του σταθερό μήκος. Επομένως και η διαγώνιος MN διατηρεί σταθερή διεύθυνση.
Στο σχηματιζόμενο τρίγωνο OXK το H είναι ορθόκεντρο, επομένως η OH είναι κάθετη στην KX. Όμως, KX//AB καθώς από τα όμοια τρίγωνα OPX, ORK έχουμε:
\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{CD}{EZ}= \dfrac{OR}{OP}=\dfrac{OK}{OX}. Επομένως η OH είναι κάθετη και στην AB.
Συνημμένα
koutras theorem.png
koutras theorem.png (20.63 KiB) Προβλήθηκε 1790 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3818
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Ιαν 04, 2017 8:35 pm

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Άλλη μία απόδειξη:
Αφήνουμε τα EZ, CD να ολισθήσουν πάνω στις δύο ευθείες, μέχρι να αποκτήσουν κοινό άκρο το O. Οι αντίστοιχες κάθετες, σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο MLNU το οποίο παραμένει αναλλοίωτο κατά την μετακίνηση, καθώς οι πλευρές του έχουν σταθερή διεύθυνση και τα ύψη του σταθερό μήκος. Επομένως και η διαγώνιος MN διατηρεί σταθερή διεύθυνση.
Στο σχηματιζόμενο τρίγωνο OXK το H είναι ορθόκεντρο, επομένως η OH είναι κάθετη στην KX. Όμως, KX//AB καθώς από τα όμοια τρίγωνα OPX, ORK έχουμε:
\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{CD}{EZ}= \dfrac{OR}{OP}=\dfrac{OK}{OX}. Επομένως η OH είναι κάθετη και στην AB.
Ανδρέα καλησπέρα και καλή χρονιά.

Πανέμορφα τα "κουνήματά σου". Άλλωστε όπως αναφέρω πιο πάνω στο σύνδεσμο από απλά "κουνήματα" (λίγο διαφορετικά) γεννήθηκε αυτό το "παιδί". Το συμπέρασμα;

Μην κάθεστε. "Κουνηθείτε" (γενικότερα) αν θέλετε να έχετε "αποτέλεσμα"

Με την απέραντη εκτίμησή μου στο πρόσωπό σου.

Υ.Σ. Ας διαβαστεί και ότι είναι γραμμένο κάτω από το όνομά μου σε αυτή (και σε όλες τις άλλες) τη δημοσίευση

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1070
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Τετ Ιαν 04, 2017 10:57 pm

Καλησπέρα Στάθη!
Πάντα τα "κουνήματα" (κάθε είδους) είναι ενδιαφέροντα και δημιουργικά.
Όταν μάλιστα γίνονται αφορμή για νέες γεωμετρικές ανακαλύψεις ακόμα καλύτερα!
Να είσαι καλά και να δημιουργείς!
Η αγάπη και εκτίμηση όπως ξέρεις είναι αμοιβαία!
ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3818
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 06, 2017 2:37 pm

Πιο κάτω δίνονται δύο νέες αποδείξεις του Θ. Κούτρα και έχω κανονίσω με τον Τάκη (Χρονόπουλο) όλες οι νέες όμορφες αποδείξεις

που εμφανίστηκαν σε αυτή την ανάρτηση από τους αξιόλογους συναδέλφους να μεταφραστούν στα αγγλικά και επώνυμα να σταλούν στο cut-the-knot.org για να καταγραφούν.


Αυτή είναι η απλή πηγή της έμπνευσης του περιώνυμου θεωρήματος (αντίστροφα)!

Έστω O το σημείο τομής δύο διαφορετικών ευθειών \left( a \right),\left( b \right) και ας είναι {{M}_{a}}{{M}_{b}},{{N}_{a}}{{N}_{b}} οι ορθές προβολές τμήματος MN επί των \left( a \right),\left( b \right) αντίστοιχα. Αν A,B σημεία των \left( a \right),\left( b \right) (στο ίδιο μέρος των ημιευθειών αριστερά ή δεξιά του O όπως φαίνεται στο σχήμα) τότε να δειχθεί η ισοδυναμία: \dfrac{{{M_a}{N_a}}}{{{M_b}{N_b}}} = \dfrac{{OB}}{{OA}} \Leftrightarrow MN \bot AB

\bullet Έστω ότι ισχύει: \boxed{\frac{{{M_a}{N_a}}}{{{M_b}{N_b}}} = \frac{{OB}}{{OA}}}:\left( 1 \right). Εστω επίσης OS = \parallel MN και ας είναι K,L οι ορθές προβολές του S στις \left( a \right),\left( b \right) αντίστοιχα.

Τότε \boxed{OK = {M_a}{N_a},OL = {M_b}{N_b}}:\left( 2 \right) (οι ορθές προβολές ίσων και παραλλήλων τμημάτων στον ίδιο φορές ή σε παράλληλους φορείς είναι ίσες)

και \boxed{OA' = OL = {M_b}{N_b},OB' = OK = {M_a}{N_a}}:\left( 3 \right) με A',B' σημεία των (προς το ίδιο μέρος του O αριστερά ή δεξιά) ημιευθειών

που ορίζονται από O με φορείς τις \left( a \right),\left( b \right) αντίστοιχα.

Προφανώς είναι \vartriangle OB'A'\mathop  = \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi } \vartriangle OKL \Rightarrow \angle B'A'O = \angle OLK \mathop  = \limits^{O,L,S,K\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle OSK\mathop  \Rightarrow \limits^{SK \bot \left( a \right)} \boxed{SO \bot A'B'}:\left( 4 \right).

Όμως \dfrac{{OB'}}{{OA'}}\mathop  = \limits^{\left( 3 \right)} \dfrac{{{M_a}{N_a}}}{{{M_b}{N_b}}}\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{OB}}{{OA}} \mathop  \Rightarrow \limits^{\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta } AB\parallel A'B'\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)} \boxed{MN \bot AB}.
[attachment=0]Απόδειξη του Θεωρήματος Κούτρα.png[/attachment]
\bullet. Έστω ότι ισχύει: MN \bot AB \Rightarrow OS \bot AB και ας είναι T \equiv OS \cap AB . Τότε τα τετράπλευρα ATKS,BTLS είναι εγγράψιμα

σε κύκλους κοινής χορδής TS (από τις ορθές γωνίες)

οπότε OA \cdot OK = OS \cdot OT = OB \cdot OL \Rightarrow \dfrac{{OK}}{{OL}} = \dfrac{{OB}}{{OA}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \boxed{\frac{{{M_a}{N_a}}}{{{M_b}{N_b}}} = \frac{{OB}}{{OA}}} και ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Δεύτερη απόδειξη

\bullet Έστω ότι ισχύει: \boxed{\frac{{{M_a}{N_a}}}{{{M_b}{N_b}}} = \frac{{OB}}{{OA}}}:\left( 1 \right) και OS = \parallel MN και ας είναι K,L οι ορθές προβολές του S στις \left( a \right),\left( b \right) αντίστοιχα.

Τότε \boxed{OK = {M_a}{N_a},OL = {M_b}{N_b}}:\left( 2 \right) (οι ορθές προβολές ίσων και παραλλήλων τμημάτων στον ίδιο φορές ή σε παράλληλους φορείς είναι ίσες).

Αν A' \equiv SL \cap \left( a \right),B' \equiv SK \cap \left( b \right) τότε προφανώς το S είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \vartriangle OA'B' \Rightarrow \boxed{OS \bot A'B'}:\left( 3 \right).
[attachment=1]Απόδειξη του Θεωρήματος Κούτρα 1.png[/attachment]
Από τα ομοκυκλικά σημεία K,A',B',L \Rightarrow OK \cdot OA' = OL \cdot OB' \Rightarrow \dfrac{{OK}}{{OL}} = \dfrac{{OB'}}{{OA'}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \dfrac{{OB}}{{OA}} = \dfrac{{OB'}}{{OA'}}

\mathop  \Rightarrow \limits^{{\rm A}\nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\,\Theta .\user1{\Theta }\alpha \lambda \eta } AB\parallel A'B'\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),OS\parallel MN} \boxed{MN \bot AB}.

\bullet Αν MN \bot AB\mathop  \Rightarrow \limits^{OS\parallel MN} OS \bot AB και με OS \bot A'B' \Rightarrow AB\parallel A'B'\mathop  \Rightarrow \limits^{\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta } \dfrac{{OB}}{{OA}} = \dfrac{{OB'}}{{OA'}} \mathop  = \limits^{K,L,B',A'\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \boxed{\dfrac{{OK}}{{OL}}\mathop  = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{{{M_a}{N_a}}}{{{M_b}{N_b}}}}

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Απόδειξη του Θεωρήματος Κούτρα.png
Απόδειξη του Θεωρήματος Κούτρα.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 1701 φορές
Απόδειξη του Θεωρήματος Κούτρα 1.png
Απόδειξη του Θεωρήματος Κούτρα 1.png (21.36 KiB) Προβλήθηκε 1701 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5249
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Ιαν 06, 2017 11:30 pm

Ας μου επιτραπεί πλέον και μία «αιρετική» προσέγγιση που είχα αρχικά σκεφτεί:

Έστω m,\;n \in {\Cal R+}, τέτοιοι που OB = mEZ,\;OA = nCD.

Τότε \overrightarrow {MN} \cdot\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {MN} \,\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right) = \overrightarrow {MN} \,\left( {-m\overrightarrow {EZ}  + n\overrightarrow {CD} } \right) = -m{\overrightarrow {EZ} ^{\,2}} + n{\overrightarrow {CD} ^2}.
Οπότε παίρνουμε \displaystyle{\overrightarrow {MN}  \bot \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow mE{Z^2} = nC{D^2} \Leftrightarrow \frac{{E{Z^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{n}{m} = \frac{{OA \cdot EZ}}{{OB \cdot CD}} \Leftrightarrow \frac{{EZ}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{OB}}.}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4203
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Ιαν 07, 2017 5:31 pm

Στάθη θερμά συγχαρητήρια.
Είδα τα καλά νέα επιστρέφοντας στην βάση μου.
Είναι νέα που τα έχουμε όλοι ανάγκη,
Σε ευχαριστούμε για την γνώση που μας χαρίζεις.
Να είσαι πάντα γερός και δημιουργικός.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:31 pm

Τιμή μας και καμάρι μας που σε έχουμε μαζί μας.

Στάθη πολλά συγχαρητήρια και σ'ευχαριστούμε για όσα μας χαρίζεις.

. :first:


Φωτεινή Καλδή
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιαν 08, 2017 12:12 pm

Kαλημέρα !
Να υποβάλω τα θερμά μου συγχαρητήρια στον ΕΛΛΗΝΑ Μαθηματικό και κατ' εξοχήν ΜΕΓΑΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ !

Αν εμείς νοιώθουμε ευτυχείς όταν μπορούμε να γευτούμε έστω και ..σταγόνες Γεωμετρίας , πόσο μάλλον ο Στάθης Κούτρας
που μπορεί να πίνει με το κύπελό του: :first: και μοιράζεται την ικανοποίησή του με την μεγάλη Μαθηματική οικογένεια !

Ένα από τα "μυστικά '' του Στάθη (και) κατά της ανίας :

<< Τη Γεωμετρία .. συγκάτοικο ,την έχει δίχως λήξη .. για νάναι η θύρα του κλειστή , οριστικά στην πλήξη .

Με την Ευκλείδεια ΣΤΑΘΗ ΜΑΣ , κάνεις καλή παρέα .. για να κερνάς ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ επώνυμα-σπουδαία !
>>

Με τη δέουσα υπόκλιση.. ευτυχής ως συνάδελφος

Γιώργος Μήτσιος.


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2318
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Ιαν 08, 2017 12:38 pm

Μπράβο Στάθη, συγχαρητήρια. Η αξία σου αναγνωρίζετε.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3818
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Ιαν 08, 2017 10:58 pm

Απλά θέλω να ενημερώσω τους συναδέλφους (και όλο τον κόσμο του :santalogo: ) που έδωσαν αποδείξεις του Θεωρήματος στην ανάρτηση αυτή

έχουν μεταφραστεί στα αγγλικά και έχουν ήδη αναρτηθεί στο
http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... tras.shtml

Τάκη Χρονόπουλε ευχαριστούμε και από το χώρο αυτό για την ανεκτίμητη δουλειά που έκανες .

Και ένα σχόλιο ας μου επιτραπεί.

Οι αποδείξεις των ΕΛΛΗΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ είναι μακρά ομορφότερες (κατά την ταπεινή μου άποψη) από εκείνες των ξένων συναδέλφων μας.

Ίσως αυτή η χώρα πληρώνει τώρα το λογαριασμό του ρεύματος από τα φώτα του πολιτισμού που έδωσε κατά καιρούς στην υφήλιο :shock:

Με εκτίμηση

Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιαν 11, 2017 6:02 am

Καλημέρα.

Στάθη,θερμά συγχαρητήρια. Οι αξίες αργά ή γρήγορα αναγνωρίζονται.

Δίνω μια ακόμη απόδειξη του θεωρήματος

Ας είναι \displaystyle{CD} , \displaystyle{EZ} οι προβολές του \displaystyle{MN} στις πλευρές \displaystyle{Ox,Oy} αντίστοιχα και \displaystyle{MH \bot NZ,MK \bot DN}

Έστω ακόμη ότι η κάθετος στην \displaystyle{MN} στο \displaystyle{M} τέμνει την \displaystyle{Oy} στο \displaystyle{S}.Τότε τα τετράπλευρα \displaystyle{SZMN,HMNK}

είναι εγράψιμα και συνεπώς \displaystyle{\angle S = \angle k = \angle n}

Επί των \displaystyle{Ox,Oy} θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{Q,P} αντίστοιχα ώστε \displaystyle{OQ = CD} και \displaystyle{OP = EZ} οπότε \displaystyle{OP = //MH} και \displaystyle{OQ = //MK}

άρα \displaystyle{\angle POQ = \angle KMH} και \displaystyle{\vartriangle POQ = \angle HMK},επομένως , \displaystyle{\angle q = \angle k} άρα \displaystyle{\angle q = \angle S}

Όμως \displaystyle{\frac{{OA}}{{EZ}} = \frac{{OB}}{{CD}} \Leftrightarrow OA \cdot CD = OB \cdot EZ \Leftrightarrow OA \cdot OQ = OB \cdot OP \Leftrightarrow APQB} εγγράψιμο ,άρα \displaystyle{\angle b = \angle q}

Έτσι \displaystyle{\angle b = \angle S \Rightarrow AB//MS \Rightarrow \boxed{NM \bot BA}}
θ.K.png
θ.K.png (48.8 KiB) Προβλήθηκε 1415 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες