Τον κύκλο σας

KARKAR · #1

: Τον κύκλο σας.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Οι διάμεσοι

και

του ορθογωνίου ( στο

) τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται

στο

. Φτιάξτε ένα τέτοιο τρίγωνο , ώστε τα C,M,S,N

να είναι ομοκυκλικά .

#2

KARKAR έγραψε:Τον κύκλο σας.pngΟι διάμεσοι και του ορθογωνίου ( στο ) τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται

στο . Φτιάξτε ένα τέτοιο τρίγωνο , ώστε τα να είναι ομοκυκλικά .

Απλό .

Αρκεί $\boxed{c = b\sqrt 2 }$

: Τον κύκλο σας.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Θεωρούμε δύο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο

. στην κατακόρυφη

παίρνουμε σημείο

και έστω

το μέσο του AC = b

. Στην οριζόντια παίρνουμε

σημείο

ώστε $AB = c = b\sqrt 2$ . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου

που η

το

τέμνει στο

. Το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που ζητάμε

Είναι $BS \cdot (BS + 2SN) = A{B^2}$ άρα BS = 2SN

. Τα υπόλοιπα απλά .

Φιλικά, Νίκος

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Για να είναι το CMSN

εγγράψιμο, τότε πρέπει να ισχύει η μετρική σχέση $AM\cdot AC=AM\cdot 2AM=AS\cdot AN$ .

Προφανώς το

θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου άρα είναι γνωστό ότι $AS=2\cdot SN$

Άρα η σχέση μας γίνεται:

$AM\cdot 2AM=2SN\cdot 3SN$ .

Για ευκολία θέτουμε AM=MC=x

και

. Έχουμε:

$AM\cdot 2AM=2SN\cdot 3SN\Leftrightarrow 2x^2=6y^2$ $\Leftrightarrow x=\sqrt{3}y$

Άρα, προκύπτει ότι $AC=2\sqrt{3}y$

Ακόμη, ισχύει ότι BC=2AN=6SN=6y

Τέλος με πυθαγόρειο στο τρίγωνο ABC

προκύπτει ότι $AB=2\sqrt{6}y$ , συνεπώς $\dfrac{AB}{AC}=\sqrt{2}$

Θα φτιάξουμε λοιπόν το τρίγωνο ABC

με λόγο αναλογίας $\dfrac{AB}{AC}=\sqrt{2}$

Υ.Γ. Με πρόλαβε ο κύριος Νίκος!

#4

Το θέμα αντιμετωπίζεται και με άλλους τρόπους. Επιφυλάσσομαι.

Φιλικά, Νίκος

#5

Κατασκευή (Γεωμετρική )

Έστω κύκλος (O,b)

και διάμετρός του

. Η χορδή

είναι μεσοκάθετος

στην ακτίνα

στο

. Ο κύκλος (C,b)

και το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνονται στο

. Το τρίγωνο ABC

είναι αυτό που θέλουμε.

: Τον κύκλο σας_new.png (29 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Η απόδειξη, από τους μαθητές .

Φιλικά, Νίκος

KARKAR · #6

: Ομοκυκλικά 2.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Ξεκινήσαμε εύκολα το 2017

. Ας ανεβούμε σε επίπεδο δυσκολίας , έχοντας γνωστά τα μήκη

των b,c

αλλά άγνωστη την πλευρά

( φυσικά και τη γωνία $\hat{A}$ ) . Πάρτε b=5 , c=6

και

προσπαθήσετε να κατασκευάσετε το τρίγωνο , ώστε τα C,M,S,N

να είναι ομοκυκλικά .

#7

KARKAR έγραψε:Ομοκυκλικά 2.pngΞεκινήσαμε εύκολα το . Ας ανεβούμε σε επίπεδο δυσκολίας , έχοντας γνωστά τα μήκη

των αλλά άγνωστη την πλευρά ( φυσικά και τη γωνία $\hat{A}$ ) . Πάρτε και

προσπαθήσετε να κατασκευάσετε το τρίγωνο , ώστε τα να είναι ομοκυκλικά .

Επειδή $\widehat \theta = \widehat A$ θα είναι $\vartriangle ABD \approx \vartriangle SAD$ , η

εφάπτεται του κύκλου (A,B,S)

.

Θα είναι έτσι : $D{A^2} = DS \cdot DB \Rightarrow \dfrac{{{b^2}}}{4} = \dfrac{1}{3}B{D^2} \Rightarrow \boxed{BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{2}}$ . Το τρίγωνο

$\vartriangle ABD$ κατασκευάζεται , άρα και το ζητούμενο .

: Τον κύκλο σας_γενικά_1.png (27.87 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Φιλικά, Νίκος

#8

KARKAR έγραψε:Ομοκυκλικά 2.pngΞεκινήσαμε εύκολα το . Ας ανεβούμε σε επίπεδο δυσκολίας , έχοντας γνωστά τα μήκη

των αλλά άγνωστη την πλευρά ( φυσικά και τη γωνία $\hat{A}$ ) . Πάρτε και

προσπαθήσετε να κατασκευάσετε το τρίγωνο , ώστε τα να είναι ομοκυκλικά .

Χαιρετώ τους φίλους!

Αρκεί να υπολογίσω την πλευρά

.
$\displaystyle{AS \cdot AN = AM \cdot AC \Leftrightarrow \frac{2}{3}{m_a}^2 = \frac{{{b^2}}}{2} \Leftrightarrow {m_a}^2 = \frac{{75}}{4} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a=\sqrt{47}}$

Παρατήρηση: Μπορούμε να διατυπώσουμε την παρακάτω πρόταση.

Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου, η κορυφή της περιεχομένης γωνίας και το βαρύκεντρο είναι σημεία ομοκυκλικά,

αν και μόνο αν το άθροισμα των τετραγώνων των δύο αυτών πλευρών είναι ίσο με το διπλάσιο τετράγωνο της τρίτης πλευράς

Τον κύκλο σας

Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Re: Τον κύκλο σας

Μέλη σε σύνδεση