ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ 1

[xr.tsif]

Με βάση το θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων Β Λυκείου 1999 , οι κ.κ Καθηγητές της Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά (νομίζω ο κύριος ΜΑΚΡΑΣ - καλά να είναι) έδωσαν στα παιδιά της Γ Λυκείου ένα φυλλάδιο με 12 ασκήσεις σχετικές με μυρμήγκια. Εδώ είναι μία από αυτές (εκτός ύλης τώρα).

Η ΥΑΚΙΝΘΗ είναι μία αράχνη με όχι αμελητέες γνώσεις Μαθηματικών. Έχει υφάνει τον ιστό της χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα από τετράγωνα έτσι ώστε οι κορυφές τους να είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες. Ένα άτυχο μυρμήγκι έχει παγιδευτεί στον ιστό της Υακίνθης στην κορυφή με συντεταγμένες (13,22). Η Υακίνθη λιάζεται στην κορυφή με συντεταγμένες (0,1). Σε μία κρίση ευσπλαχνίας κάνει στο άτυχο μυρμήγκι την ακόλουθη πρόταση : Θα κινηθεί εναντίον του σύμφωνα με έναν γραμμικό μετασχηματισμό με πίνακα Α. Τα στοιχεία του Α θα επιλεγούν από την Υακίνθη και το υποψήφιο θύμα της. Αν η Υακίνθη δεν φθάσει το μυρμήγκι τότε θα του δώσει όλο τον απαιτούμενο χρόνο για να απελευθερωθεί. Σημειώστε ότι το μυρμήγκι (άν και άτυχο) γνωρίζει αρκετά Μαθηματικά.
Ποια από τα παρακάτω Σενάρια θα επιτρέψουν στο μυρμήγκι να σωθεί;
α) Διαλέγει ένα στοιχείο του πίνακα Α η Υακίνθη , μετά το μυρμήγκι, μετά η Υακίνθη και τέλος το μυρμήγκι.
β) Διαλέγει μία στήλη το μυρμήγκι και την άλλη η Υακίνθη.
γ) Διαλέγει την μία διαγώνιο το μυρμήγκι και την άλλη η Υακίνθη.
δ) Διαλέγει την μία διαγώνιο η Υακίνθη και την άλλη το μυρμήγκι.
ε) Διαλέγει ότι θέλει το μυρμήγκι αλλά την την υποδεικνύει η Υακίνθη.
στ)Διαλέγει ότι θέλει η Υακίνθη αλλά την την υποδεικνύει το μυρμήγκι.

Χρήστος Τσιφάκης

Υ.Γ. Δεν την έχω λύσει

[Mihalis_Lambrou]

Με βάση το θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων Β Λυκείου 1999 , οι κ.κ Καθηγητές της Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά (νομίζω ο κύριος ΜΑΚΡΑΣ - καλά να είναι) έδωσαν στα παιδιά της Γ Λυκείου ένα φυλλάδιο με 12 ασκήσεις σχετικές με μυρμήγκια. Εδώ είναι μία από αυτές (εκτός ύλης τώρα).

Η ΥΑΚΙΝΘΗ είναι μία αράχνη με όχι αμελητέες γνώσεις Μαθηματικών. Έχει υφάνει τον ιστό της χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα από τετράγωνα έτσι ώστε οι κορυφές τους να είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες. Ένα άτυχο μυρμήγκι έχει παγιδευτεί στον ιστό της Υακίνθης στην κορυφή με συντεταγμένες (13,22). Η Υακίνθη λιάζεται στην κορυφή με συντεταγμένες (0,1). Σε μία κρίση ευσπλαχνίας κάνει στο άτυχο μυρμήγκι την ακόλουθη πρόταση : Θα κινηθεί εναντίον του σύμφωνα με έναν γραμμικό μετασχηματισμό με πίνακα Α. Τα στοιχεία του Α θα επιλεγούν από την Υακίνθη και το υποψήφιο θύμα της. Αν η Υακίνθη δεν φθάσει το μυρμήγκι τότε θα του δώσει όλο τον απαιτούμενο χρόνο για να απελευθερωθεί. Σημειώστε ότι το μυρμήγκι (άν και άτυχο) γνωρίζει αρκετά Μαθηματικά.
Ποια από τα παρακάτω Σενάρια θα επιτρέψουν στο μυρμήγκι να σωθεί;
α) Διαλέγει ένα στοιχείο του πίνακα Α η Υακίνθη , μετά το μυρμήγκι, μετά η Υακίνθη και τέλος το μυρμήγκι.
β) Διαλέγει μία στήλη το μυρμήγκι και την άλλη η Υακίνθη.
γ) Διαλέγει την μία διαγώνιο το μυρμήγκι και την άλλη η Υακίνθη.
δ) Διαλέγει την μία διαγώνιο η Υακίνθη και την άλλη το μυρμήγκι.
ε) Διαλέγει ότι θέλει το μυρμήγκι αλλά την την υποδεικνύει η Υακίνθη.
στ)Διαλέγει ότι θέλει η Υακίνθη αλλά την την υποδεικνύει το μυρμήγκι.

Χρήστος Τσιφάκης

Υ.Γ. Δεν την έχω λύσει

Αν ο πίνακας είναι


τότε η αράχνη πάει στο (b, d). Άρα αν διαλέξουμε το (b, d) διάφορο του (13, 22), κερδίζει το μυρμήγκι.

Η επιλογή αυτή είναι πάντα δυνατή, πλην της περίπτωσης β) (και εφόσον διαλέξει πρώτο την στήλη η αράχνη. Αλλιώς, και σε αυτή την περίπτωση κερδίζει το μηρμήγκι).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[nsmavrogiannis]

Μιας και το αδίκημα χλευασμού του πνεύματος της λεγόμενης μεταρρύθμισης της δεκαετίας του 90 έχει, ελπίζω, παραγραφεί μπορώ να αποκαλύψω ότι ο δράστης είμαι εγώ. Το σχολικό έτος 1998-2000 δίδασκα στα δύο τμήματα B' Θετικής Κατεύθυνσης του σχολείου μου που τότε ήταν το 3ο Λύκειο Νέας Σμύρνης (εξακολουθώ να το αποκαλώ "το σχολείο μου": ανήκα οργανικά σε αυτό 20 χρόνια και δίδαξα τα 14). Ήταν δύο τμήματα εξαιρετικών μαθητών. Να σκεφτείτε ότι δίδαξα όλη (ναι όλη ακόμη και τις ισοτιμίες) την θεωρία αριθμών με ασκήσεις εντός και εκτός βιβλίου. Πιστεύα όπως πολλοί άλλοι ότι οφείλουμε να διδάξουμε Μαθηματικά και όχι σάχλες. Όταν φθάσαμε στις εξετάσεις ήταν που έπεσε το γέλιο. Ποτιστήρια στην Γεωμετρία, δοσατζήδες στην Άλγεβρα και μυρμήγκια στην Κατεύθυνση. Για όσους θυμούνται οι θεματοδότες είχαν πάρει μία μονοπαραμετρική δέσμη κύκλων που διέρχονταν απο ένα σημείο (κατι που ζητείτο να αποδειχθεί). Πάνω στους κύκλους είχαν βάλε να κινούνται μυρμήγκια και το σημείο ονομάστηκε "η φωλιά τους". Ήταν η εποχή που στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και στο Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας έπνεε ο άνεμος των "προβλημάτων" και "της σύνδεσης των Μαθηματικών με τη ζωή". Πολύ καλά βέβαια ήταν συνδεδεμένη, όχι με την ζωή αλλά με εκείνο το κομάτι της που ονομάζεται μπεζαχτάς, και μια απίστευτα καλά συναλλασσόμενη καμαρίλα. Πολλά από τα άσκημα της παρούσας κατάστασης στα μαθηματικά μας πράγματα τα οφείλουμε σε εκείνους τους ανθρώπους. Από κοντά και κάποιοι διδακτιτζήδες που είδαν στο μεσουράνημα των "προβλημάτων" πεδίον δόξης λαμπρόν. Μάλιστα αρκετοί καθ' όλα σοβαροί συνάδελφοι είχαν μπερδευτεί πολύ με αυτό το νέο συρμό και είχαν αρχίσει να μπλέκουν τα κριτήρια. Χαρακτηριστικό παράδειγμα:
Όντας το 1999 συντονιστής στο τοπικό βαθμολογικό κέντρο έθεσα την εξής ερώτηση στους βαθμολογητές:
"Αν κάποιος μαθητής προσέξει ότι (ήταν μια απλή παρατήρηση) ότι όντως το τάδε σημείο ανήκει σε όλους τους κύκλους τί λέτε έχει υποχρέωση να αποδείξει ότι δεν υπάρχει άλλο; Και έν τέλει έχει δώσει απάντηση στο ερώτημα;"
'Εγινε μια έντονη συζήτηση μιας και κάποιοι συνάδελφοι επέμεναν ότι πρέπει να βρει με επίλυση και όχι παρατήρηση το σημείο. Τότε κάποιος συνάδελφος προθυμοποιήθηκε να διευθετήσει την διένεξη:
'Συνάδελφοι" είπε "μα είναι προφανές. Αν το παιδί βρήκε με οποιδήποτε τρόπο ένα κοινό σημείο δεν χρειάζεται να εξετάσει αν υπάρχει άλλο.Το σημείο αυτό είναι η φωλιά και η φωλιά είναι μοναδική!"

14 μαθήματα εν μέσω παράνοιας δώσανε τα δόλια. Την επόμενη σχολική χρονιά 1999-2000 τα δύο τμήματα θετικής έγιναν ένα στο οποίο ανέλαβα την διδασκαλία των Μαθηματικών. Κάτι σαν φόρο τιμής στα Μερμήγκια, κάτι για να γελάσει λίγο το χείλι, τους κάτι γιατί μου αρέσουν τα αστεία αποφάσισα να συνθέσω ένα φυλλάδιο μόνο για Μυρμήγκια. Ασχοληθήκαμε με αυτό και πιστεύω η ενασχόληση αυτή να ήταν επωφελής και κυρίως ψυχωφελής. Δυστυχώς έχω χάσει το ηλεκτρονικό αρχείο. Χάριν ιστορίας ανεβάζω ένα σκαναρισμένο αντίγραφο ενός αρκετά κακοποιημένου εντύπου.
Ο επί τρεις δεκαετίες φίλος μου και σε πολλές περιστάσεις συνεργάτης Στράτος Μάκρας που για όσους τον ξέρουν θα έχουν εκτιμήσει όχι μόνο τα μαθηματικά του χαρίσματα αλλά και το χιούμορ του έκρινε ότι το μικρό μου συναξάρι για τα μυρμήγκια έπρεπε να αξιοποιηθεί περαιτέρω. Αυτή είναι η ιστορία. Νάσαι καλά Χρήστο που μου την θύμισες
Για να μην επιβαρύνω το mathematica ανεβάζω, για όσους ενδιαφέρονται, το αρχείο εδώ:
http://users.sch.gr/mavrogiannis/bthet/Ants.pdf
Οδηγίες Χρήσης: Είναι δισέλιδο προορισμένο για εκτύπωση στις δύο όψεις. Διπλώνει και γίνεται πολύπτυχο ώστε να ενθυλακώνεται εύκολα.
Προειδοποιήσεις: Υπάρχουν κάποια τυπογραφικά λάθη τα οποία είχαμε διορθώσει.
Τρειλερ:

[Α.Κυριακόπουλος]

Νίκο. Έτσι όπως έχεις γράψει το κείμενο είναι πολύ κουραστικό στο διάβασμα. Πρέπει να το πηγαίνουμε πέρα- δώθε.
Φιλικά.

[nsmavrogiannis]

Νίκο. Έτσι όπως έχεις γράψει το κείμενο είναι πολύ κουραστικό στο διάβασμα. Πρέπει να το πηγαίνουμε πέρα- δώθε.
Φιλικά.

Καλημέρα και καλή βδομάδα. Αντώνη έχεις δίκιο. Ήταν η εικόνα μεγάλη. Το διόρθωσα.
Μαυρογιάννης

[chris_gatos]

Καλημέρα!
Διαβάζοντας για τα μυρμήγκια, θυμήθηκα ένα χαρακτηριστικό στιγμιότυπο απο το πρώτο (εύχομαι να είναι και το μοναδικό,αν σκοπεύουν να το επαναλάβουν κατά τον ίδιο τρόπο) σεμινάριο της Ε.Μ.Ε για εκπαιδευτικούς που σκοπεύουν να δώσουν στον ΑΣΕΠ.
Εκεί λοιπόν έμαθα και το συγγραφέα της περιβόητης άσκησης με τα μυρμήγκια (ο ίδιος την υιοθέτησε, μπροστά μας). Είναι επίσης συγγραφέας πολλών απο τα σχολικά βιβλία.Το πρόβλημα αυτό μας παρουσιάστηκε ως ''μεταξωτή κορδέλα''!
Το ωραίο είναι πως σε άλλη χρονική στιγμή , μπήκε στο αμφιθέατρο της Ε.Μ.Ε άλλος εισηγητής,επίσης συγγραφέας σχολικών βιβλίων (το ένα απο αυτά μάλιστα θα μείνει στην ιστορία για το πόσο κακογραμμένο είναι) που μας μίλησε για το ''πρόβλημα'' στα μαθηματικά και αυτό το είχε ως παράδειγμα προς αποφυγήν (οχι αδίκως φυσικά), εκφραζόμενος απαξιωτικά γι'αυτό.
Τι να πω, μάλλον δεν υπήρχε συντονισμός!
Μιας ο Νίκος μίλησε για μπεζαχτά, θα παραθέσω επίσης ένα ωραίο απόφθεγμα, ενός άλλου συγγραφέα πολλών απο τα σχολικά βιβλία που έχουμε στη διαθεσή μας...
Ερχόμενος σε συζήτηση μαζί μας, αναφώνησε τα εξής όμορφα:
''Μα που πάτε,θέλετε να γίνετε καθηγητές του δημοσίου;ΘΑ ΨΟΦΗΣΕΤΕ ΤΗΣ ΠΕΙΝΑΣ, ΤΟ ΞΕΡΕΤΕ ΑΥΤΟ;''..είπε!
Ευχαριστούμε για την εμψύχωση , θα έπρεπε να είναι η απαντησή μας, αλλά μάλλον η ευγένεια του κοινού ξεπέρασε την οργή.
Δυστυχώς όταν έχεις μάθει στα ''πολλά'', απαξιώνεις τα λίγα.
Ψόφιος απο την πείνα λοιπόν, σας καλημερίζω κι εύχομαι να έχετε μια καλή και δημιουργική εβδομάδα.
Να είστε καλά!

[xr.tsif]

Νίκο
Ειλικρινά δεν είχα ιδέα ότι το αρχείο ήταν δικής σου έμπνευσης.
Είχε πέσει στα χέρια μου το 2001 - τότε δίδασκα σε κάποιο Φροντιστήριο του Πειραιά - και το είχα βάλει μέσα σε ένα παλιό βιβλίο Α Δέσμης για να μην το χάσω.
Έτυχε και άνοιξα το βιβλίο εχθές και το ξαναβρήκα.

Φιλικά
Χρήστος

[nsmavrogiannis]

Χρήστο δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα. Έτσι και αλλιώς για αστείο πρόκειται και τα αστεία από ένα σημείο και μετά, αναπόφευκτα, γίνονται αγνώστου πατρός. Σε ευχαριστώ που μου θύμισες αυτή την ιστορία. Την είχα ξεχάσει.
Νίκος

[polysot]

Καταρχήν Νίκο ευχαριστούμε για το μυρμηγκοφόρο φυλλάδιό σου (με την παρατήρηση ότι τα μυρμήγκια "βλέπουν" μόνο δύο διαστάσεις, όπως εμείς μόνο τρεις. ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ: αν μπορούσαμε να "βλέπουμε" τέσσερις διαστάσεις, μήπως θα μπορούσαμε να κινούμαστε και να εκτεινόμαστε σε αυτές ή επειδή κινούμαστε και εκτεινόμαστε σε 3 διαστάσεις μπορούμε ακριβώς και καταλαβαίνουμε μόνο 3;), αν και μπορώ να διαβάσω στην πραγματικότητα μόνο την 1η σελίδα αφού η δεύτερη είναι πολύ μικρή!

Ερώτηση 1η : Γιατί δεν είναι καλή η άσκηση του 99 με τα μυρμήγκια;
2η : Είναι απαραίτητα τα προβλήματα μαθηματικών στο σχολείο; Πώς πρέπει να είναι ενδεδυμένα αυτά; Είναι πάντα εφικτό να έχουμε πραγματικά προβλήματα -έστω και εξομαλυμένα - ή είναι αναγκαστικό να έχουμε και "κατασκευασμένα" προβλήματα σε πολλές περιπτώσεις;
3η : Πώς θα μπορούσαν να είναι προβλήματα - εφαρμογές με βάση τα μαθηματικά που διδάσκονται τώρα;
4η : Γιατί κλασικές πραγματικές εφαρμογές - τοκοχρεωλύσια, ρυθμός μεταβολής κλπ - βρίσκονται είτε εκτός ύλης, είτε δε λαμβάνονται υπόψη;
5η : Θα ήταν χρήσιμο άραγε να δημιουργήσουμε εδώ στο μαθεματικα μία δεξαμενή πραγματικών προβλημάτων βασισμένα σε ύλη όλων των τάξεων;

[Γιώργος Ρίζος]

Ερώτηση 1η : Γιατί δεν είναι καλή η άσκηση του 99 με τα μυρμήγκια;

Σωτήρη, το κλίμα της εποχής το περιγράφει γλαφυρότατα ο Νίκος (παραπάνω):
Όταν φθάσαμε στις εξετάσεις ήταν που έπεσε το γέλιο. Ποτιστήρια στην Γεωμετρία, δοσατζήδες στην Άλγεβρα και μυρμήγκια στην Κατεύθυνση. Για όσους θυμούνται οι θεματοδότες είχαν πάρει μία μονοπαραμετρική δέσμη κύκλων που διέρχονταν απο ένα σημείο (κατι που ζητείτο να αποδειχθεί). Πάνω στους κύκλους είχαν βάλε να κινούνται μυρμήγκια και το σημείο ονομάστηκε "η φωλιά τους". Ήταν η εποχή που στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και στο Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας έπνεε ο άνεμος των "προβλημάτων" και "της σύνδεσης των Μαθηματικών με τη ζωή". Πολύ καλά βέβαια ήταν συνδεδεμένη, όχι με την ζωή αλλά με εκείνο το κομάτι της που ονομάζεται μπεζαχτάς, και μια απίστευτα καλά συναλλασσόμενη καμαρίλα. Πολλά από τα άσκημα της παρούσας κατάστασης στα μαθηματικά μας πράγματα τα οφείλουμε σε εκείνους τους ανθρώπους. Από κοντά και κάποιοι διδακτιτζήδες που είδαν στο μεσουράνημα των "προβλημάτων" πεδίον δόξης λαμπρόν. Μάλιστα αρκετοί καθ' όλα σοβαροί συνάδελφοι είχαν μπερδευτεί πολύ με αυτό το νέο συρμό και είχαν αρχίσει να μπλέκουν τα κριτήρια.

Για την άσκηση: Το σενάριο είναι εξόφθαλμα τεχνητό έως γελοίο (όταν το πρωτοείδα, στο νου μου ήλθαν τα χορευτικά από παλιά αμερικάνικα μιούζικαλ, αλλά με πρωταγωνιστές μυρμήγκια...). Δεν συνδέει τα μαθηματικά με την "πραγματικότητα", δεν προσφέρει (το σενάριο) κάτι ως θέμα εξετάσεων, αν και ως μαθηματικό θέμα είναι καλό. Επίσης οι αλλαγές ξεκίνησαν από το τέλος, στις εξετάσεις, δίχως να έχουν εξοικειωθεί οι μαθητές με τέτοια θέματα. Έλα στη θέση των μαθητών που έδιναν 14 μαθήματα, Ιούνη μήνα, να βλέπουν μπροστά τους τέτοια θέματα...
Τέλος, τα θέματα των εξετάσεων είναι μπούσουλας για την παραγωγή υλικού, με τα γνωστά τραγελαφικά αποτελέσματα. (Δες και εδώ: viewtopic.php?f=18&t=4768&p=26786#p26786 )

2η : Είναι απαραίτητα τα προβλήματα μαθηματικών στο σχολείο; Πώς πρέπει να είναι ενδεδυμένα αυτά; Είναι πάντα εφικτό να έχουμε πραγματικά προβλήματα -έστω και εξομαλυμένα - ή είναι αναγκαστικό να έχουμε και "κατασκευασμένα" προβλήματα σε πολλές περιπτώσεις;
3η : Πώς θα μπορούσαν να είναι προβλήματα - εφαρμογές με βάση τα μαθηματικά που διδάσκονται τώρα;

Κάποιες σκέψεις στα ερωτήματα αυτά διατυπώνω σε ένα κείμενο από τον ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ 1, 2003 στο συνημμένο, που γράφτηκε με αφορμή τα "προβλήματα" του 4ου Θέματος των εξετάσεων.

4η : Γιατί κλασικές πραγματικές εφαρμογές - τοκοχρεωλύσια, ρυθμός μεταβολής κλπ - βρίσκονται είτε εκτός ύλης, είτε δε λαμβάνονται υπόψη;

Δεν προκάνουμε... Όσοι πιστοί τα διδάσκουν, κι αν το κάνουν σωστά, τα παιδιά το χαίρονται το μάθημα...

5η : Θα ήταν χρήσιμο άραγε να δημιουργήσουμε εδώ στο μαθεματικα μία δεξαμενή πραγματικών προβλημάτων βασισμένα σε ύλη όλων των τάξεων;

Ευχαρίστως να συνεισφέρω με θέματα πραγματικών προβλημάτων, στο ύφος των θεμάτων του διαγωνισμού PISA, όπως π.χ. από το βιβλίο "Στο Δρόμο γιο τον PISA", αν υπάρξει ενδιαφέρον... Μερικά τέτοια θέματα έχουν ήδη αναρτηθεί.

Γιώργος Ρίζος

[polysot]

Γιώργο έχεις διατυπώσει σε μεγάλο βαθμό τις σκέψεις μου.
Δεν προκάνουμε γιατί συνήθως ασχολούμαστε και με τις μπούρδες των εξετάσεων!
Θα μας βοηθούσαν οι διαχειριστές, αν άνοιγαν σε κάθε μάθημα υποκατάλογο με τίτλο :
Εφαρμογές και προβλήματα
Εναλλακτικά βέβαια μπορούμε να ανοίξουμε εμείς ένα θέμα σε όποιο μάθημα θέλουμε με αυτό το σκεπτικό.
Θα το κάνω...

[nsmavrogiannis]

... αν και μπορώ να διαβάσω στην πραγματικότητα μόνο την 1η σελίδα αφού η δεύτερη είναι πολύ μικρή!

Σωτήρη ευχαριστώ για την επισήμανση. Το έγγραφο είχε πρόβλημα και δεν το είχα πάρει είδηση. Ζητώ συγνώμη απ΄όλους. Ξαναβάζω το σύνδεσμο:
http://users.sch.gr/mavrogiannis/bthet/Ants.pdf
Μαυρογιάννης

[polysot]

Τώρα μάααλιστα!!! Διότι είναι και μικρά τα μυρμήγκια...

[Μάκης Χατζόπουλος]

Γιώργο καταπληκτικό και διδακτικό το συνημμένο (αναφέρομαι Diatyposeis problhmaton 2003.pdf), πάρα πολύ!! Έχεις απόλυτα δίκιο για το ύφος και την λογική των προβλημάτων που διδάσκουμε ή διδασκόμασταν, πόσες φορές έχουμε μονολογήσει όταν διαβάζουμε το πρόβλημα και λέμε... "μα τι βλακείες λέει"!! Όμως από την άλλη, αντιλαμβάνομαι την λογική αυτών των προβλημάτων και γι’ αυτό δεν επαναστατώ, σίγουρα θέλει προσοχή, σίγουρα θέλει ένα ψάξιμο περισσότερο, σίγουρα θέλει μια σωστή σύνδεση καθημερινών προβλημάτων με τα μαθηματικά αλλά με τίποτα κατά την γνώμη μου δεν πρέπει να λείψουν από τα μαθηματικά βιβλία...

Όσο και για το φυλλάδιο του κύριου Νίκου για τα μυρμήγκια είναι επίσης απολαυστικό, εκεί που λέει "Αποστόλης ο λαίμαργος μυρμηγκοφάγος" και σε άλλα σημεία είχε πολύ γέλιο αλλά πολύ φοβάμαι ότι δεν μπαίνεις στην λογική να λύσεις τα προβλήματα όσο να ανακαλύψεις το εύρος της φαντασίας και της ευρηματικότητάς του υπογράφοντα! Νίκο όταν βλέπεις μυρμήγκια θα τους λες, δεν ξέρετε τι έχω γράψει εγώ για εσάς!!!!

[ευαγγελια]

Καλημερα σας!!!!Ανηκω στη γενια των μαθητων που επαθαν.... μυρμηγκοφοβια εκεινο το καλοκαιρι!!!!!Μετα απο χρονια καταφερα να καταλαβω οτι τα ερμα τα ζωντανα δεν μου εφταιγαν σε τιποτα!!!!Μην σας πω οτι διαβαζοντας το συννημενο υμνο προς τα μικρα ζωντανα αρχισα να συμπαθω τον κοσμο τους!!!!!!!!!!!!!!

[Μάκης Χατζόπουλος]

οτι διαβαζοντας το συννημενο υμνο προς τα μικρα ζωντανα αρχισα να συμπαθω τον κοσμο τους!!!!!!

Τον κόσμος τους, αλλά όχι και τις ασκήσεις τους !!!

[polysot]

οτι διαβαζοντας το συννημενο υμνο προς τα μικρα ζωντανα αρχισα να συμπαθω τον κοσμο τους!!!!!!

Τον κόσμος τους, αλλά όχι και τις ασκήσεις τους !!!

Τι τραβάνε τα καημένα κι αυτά...