Υποσύνολο του Ν

Καραδήμας · #1

Δίνεται άπειρο σύνολο

φυσικών αριθμών. Να δειχτεί ότι υπάρχει πραγματικός x>1

τέτοιος που $\lfloor x^k\rfloor \in A$ για όλους τους $k=1,2,\ldots$ .

#2

Σίγουρα ισχύει; Τι γίνεται αν πάρω $A = \{n! : n \in \mathbb{N}\}$ ; Επειδή $3,4,5 \notin A$ δεν υπάρχει

με $x^k \in [3,6)$ και άρα πρέπει x > 2

. Ομοίως για κάθε

δεν υπάρχει

με $x^k \in [n!+1,(n+1)!)$ και άρα πρέπει $x > \frac{(n+1)!}{n! + 1}$ , άτοπο.

Καραδήμας · #3

Σωστός, να ρωτήσουμε τότε αν υπάρχει x>1

τέτοιος που άπειροι από τους $\lfloor x^k\rfloor$ να είναι στο

. Να συνεχίσουμε τα ψώνια τώρα, γι' αυτά μόνο είναι κατάλληλη η μέρα.

Καραδήμας · #4

Και μια σχετική ερώτηση: δίνεται ακολουθία (a_n)

που κάνει το εξής: για κάθε x>1

η ακολουθία $(a_{\lfloor x^k\rfloor })$ συγκλίνει. Είναι η (a_n)

συγκλίνουσα?

Καραδήμας · #5

Εντάξει, η αρχική ερώτηση ήταν λάθος. Οι άλλες δυό όμως έχουν κάποιες ελπίδες.

#6

Καραδήμας έγραψε:Σωστός, να ρωτήσουμε τότε αν υπάρχει τέτοιος που άπειροι από τους $\lfloor x^k\rfloor$ να είναι στο . Να συνεχίσουμε τα ψώνια τώρα, γι' αυτά μόνο είναι κατάλληλη η μέρα.

Για να ισχύει αυτό, αρκεί να υπάρχει $\displaystyle{x>1}$ τέτοιος

$\displaystyle{kx \in S:=\bigcup_{n \in A} (\ln(n), \ln (n+1))}$

για άπειρους φυσικούς $\displaystyle{k}$ .

Επαγωγικά, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία κιβωτισμένων διαστημάτων

$\displaystyle{[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \dots [a_k,b_k]\supset \dots}$

και μια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών

$\displaystyle{n_1<n_2<\dots<n_k<\dots}$

τέτοια ώστε $\displaystyle{n_i x \in S}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [a_i,b_i]}$ ( $\displaystyle{i\geq 1}$ ).

Το ζητούμενο $\displaystyle{x}$ είναι τέτοιο ώστε $\displaystyle{\{x\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}[a_k,b_k]}$ .

Καραδήμας έγραψε:Και μια σχετική ερώτηση: δίνεται ακολουθία που κάνει το εξής: για κάθε η ακολουθία $(a_{\lfloor x^k\rfloor })$ συγκλίνει. Είναι η συγκλίνουσα?

Ναι, είναι.

Διαφορετικά, θα ήταν $\displaystyle{\liminf_{n \to \infty} a_n < {\limsup_{n \to \infty} a_n}$ .

Ας θεωρήσουμε $\displaystyle{a,b}$ τέτοιους ώστε $\displaystyle{\liminf_{n \to \infty} a_n < a<b<{\limsup_{n \to \infty} a_n}$ , και τα σύνολα

$\displaystyle{A=\{n \in \mathbb{N}: a_{n}<a\}}$ και $\displaystyle{B=\{n \in \mathbb{N}: a_{n}>b\} }$ .

Όπως στο παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία κιβωτισμένων διαστημάτων

$\displaystyle{[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \dots [a_k,b_k]\supset \dots}$

και μια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών

$\displaystyle{n_1<n_2<\dots<n_k<\dots}$

τέτοια ώστε $\displaystyle{n_i x \in S_1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [a_i,b_i]}$ ( $\displaystyle{i=1,3,5,7,\dots}$ )

και $\displaystyle{n_i x \in S_2}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [a_i,b_i]}$ ( $\displaystyle{i=2,4,6,8,\dots}$ )

όπου

$\displaystyle{S_1:=\bigcup_{n \in A} (\ln(n), \ln (n+1))}$

και

$\displaystyle{S_2:=\bigcup_{n \in B} (\ln(n), \ln (n+1))}$

Άρα, υπάρχει $\displaystyle{x}$ τέτοιο ώστε άπειροι από τους $\displaystyle{\lfloor x^k \rfloor}$ ανήκουν στο $\displaystyle{A}$ και άπειροι από τους $\displaystyle{\lfloor x^k \rfloor}$ ανήκουν στο $\displaystyle{B}$ .

Άτοπο, αφού το όριο $\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_{\lfloor x^n \rfloor} }}$ υπάρχει.

Αχιλλέας

Καραδήμας · #7

Πολύ ωραίος, αλλά ας ξεκαθαρίσουμε πώς φτιάχνεις τα κιβωτισμένα διαστήματα. Πες πως έχουμε βρει τα $[a_1,b_1]\supseteq \cdots \supseteq [a_k,b_k]$ στο $(1,+\infty )$ και τους $n_1<\cdots <n_k$ με $n_ix\in S$ για κάθε $x\in [a_i,b_i]$ , $i=1,\ldots ,k$ . Πρέπει να μπορώ να βρω $y\in (a_k,b_k)$ που γι' αυτό να υπάρχει $n_{k+1}>n_k$ με $n_{k+1}y\in S$ . Αν είναι έτσι, φτιάχνουμε και το $[a_{k+1},b_{k+1}]\subset [a_k,b_k]$ με κέντρο το

.

Καραδήμας · #8

Μάλλον δεν είδε την ερώτηση ο Αχιλλέας, να συμπληρώσω τη λεπτομέρεια: αν $(na_k,nb_k)\cap S=\emptyset$ για κάθε n>n_k

τότε $S\cap\bigcup_{n=n_k+1}^{\infty }(na_k,nb_k)=\emptyset$ . Όμως το $\bigcup_{n=n_k+1}^{\infty }(na_k,nb_k)$ περιέχει ημιευθεία $(t,+\infty )$ (από κάποιο

και πέρα είναι (n+1)a_k<nb_k

και τα

επικαλύπτονται). Τότε $S\subseteq (-\infty ,t]$ κι αυτό είναι άτοπο γιατί το

δεν είναι φραγμένο από πάνω.

Υποσύνολο του Ν

Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Re: Υποσύνολο του Ν

Μέλη σε σύνδεση