Ελάχιστο γινόμενο

KARKAR · #1

: Ελάχιστο γινόμενο.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 1149 φορές

Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία A(0,6)

,

και

.

Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τον άξονα y'y

στο σημείο

και το τμήμα

στο σημείο

.

Ζητούμενο είναι το ελάχιστο του γινομένου $SP\cdot SQ$ . Προσπαθήστε και για άλλη προσέγγιση ...

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο γινόμενο.pngΣτο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία , και .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τον άξονα στο σημείο και το τμήμα στο σημείο .

Ζητούμενο είναι το ελάχιστο του γινομένου $SP\cdot SQ$ . Προσπαθήστε και για άλλη προσέγγιση ...

Αν $\displaystyle{\lambda }$ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας, τότε θα έχει εξίσωση $\displaystyle{y = \lambda x - 2\lambda + 3}$ και τα σημεία

τομής της με τις ευθείες x=0

και

θα είναι $\displaystyle{P(0, - 2\lambda + 3),Q\left( {\frac{{8\lambda + 12}}{{4\lambda + 3}},\frac{{18\lambda + 9}}{{4\lambda + 3}}} \right)}$

$\displaystyle{S{P^2} \cdot S{Q^2} = 4(1 + {\lambda ^2}) \cdot 36\left( {\frac{{{\lambda ^2} + 1}}{{{{(4\lambda + 3)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{SP \cdot SQ = \frac{{12({\lambda ^2} + 1)}}{{4\lambda + 3}}}$

Αλλά, $\displaystyle{\frac{{12({\lambda ^2} + 1)}}{{4\lambda + 3}} \ge 3 \Leftrightarrow {(2\lambda - 1)^2} \ge 0}$ , οπότε για $\boxed{\lambda = \frac{1}{2}}$ έχουμε $\boxed{{(SP \cdot SQ)_{\min }} = 3}$ και η ευθεία

έχει εξίσωση $\boxed{y = \frac{1}{2}x + 2}$

#3

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο γινόμενο.pngΣτο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία , και .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τον άξονα στο σημείο και το τμήμα στο σημείο .

Ζητούμενο είναι το ελάχιστο του γινομένου $SP\cdot SQ$ . Προσπαθήστε και για άλλη προσέγγιση ...

Μήπως πρέπει να το δούμε πιο γενικά;

: Τέμνουσα ειδική.png (7 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Αν δοθεί σταθερή γωνία και σταθερό σημείο

μέσα σ αυτή πως θα

κατασκευάσουμε ευθεία που διέρχεται από το σημείο αυτό και τέμνει τις πλευρές της

γωνίας στα σημεία P,Q

έτσι ώστε το γινόμενο $SP \cdot SQ$ να είναι ελάχιστο;

KARKAR · #4

: Ελάχιστο γινόμενο - γενίκευση.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές

. Αναμένοντας την καθαρά γεωμετρική (υποθέτω) λύση του Νίκου :

Είναι : $\dfrac{x}{sin\phi}=\dfrac{OS}{sin\theta} , \dfrac{y}{\sin\omega}=\dfrac{OS}{sin\zeta}$ , άρα : $xy=\dfrac{OS^2sin\phi sin\omega}{sin\theta sin\zeta}$

Το τμήμα

και οι γωνίες $\phi,\omega$ , καθώς και το άθροισμα $\theta+\zeta$ είναι σταθερά .

Ο αριθμητής λοιπόν είναι σταθερός , άρα το

ελαχιστοποιείται , όταν μεγιστοποιηθεί το $sin\theta sin\zeta$ .

Αλλά αν $\theta+\zeta=a$ , το sinx sin(a-x)

, μεγιστοποιείται όταν $x=\dfrac{a}{2}$ * , δηλαδή ,

όταν OP=OQ

, πράγμα που επιτυγχάνεται , αν από το

φέρουμε κάθετη προς τη διχοτόμο .

*Τούτο αποδεικνύεται εύκολα με τη συνάρτηση f(x)=sinx sin(a-x)

, ίσως όμως να προκύπτει κι αλλιώς ...

#5

KARKAR έγραψε: όταν μεγιστοποιηθεί το $sin\theta sin\zeta$ .

Αλλά αν $\theta+\zeta=a$ , το , μεγιστοποιείται όταν $x=\dfrac{a}{2}$ *

...

*Τούτο αποδεικνύεται εύκολα με τη συνάρτηση , ίσως όμως να προκύπτει κι αλλιώς ...

Θανάση, σου κάνει η Τριγωνομετρική απόδειξη

$2\sin \theta \sin \zeta = \cos (\theta - \zeta) - \cos (\theta + \zeta)= \cos (\theta - \zeta) - \cos a$

που μεγιστοποιείται αν $\theta = \zeta$ ή ζητάς κάτι άλλο;

KARKAR · #6

Φυσικά Μιχάλη , η προσέγγισή σου καλύπτει πλήρως το τεθέν ερώτημα .

Υποψιάζομαι πάντως , ότι μπορεί να υπάρχει κι άλλη αντιμετώπιση ...

#7

Γράφουμε τον κύκλο (O,P,Q)

και τη σταθερή διχοτόμο

της σταθερής γωνίας

$\widehat {xOy}$ . Ας είναι

το κέντρο αυτού του κύκλου ,

το σημείο τομής τη

με την

,

το σταθερό μέσο του

και

οι προβολές των K,G

στην

.

$SP \cdot SQ = K{O^2} - K{S^2} = 2OS \cdot MT\,\,(1)$ . Επειδή

: Ελάχιστο γινόμενο Ανάλυση.png (27.83 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

$G{O^2} - G{S^2} = 2OS \cdot MH \geqslant 2OS \cdot MT = SP \cdot SQ$ η μικρότερη τιμή του γινομένου

$SP \cdot SQ$ πραγματοποιείται όταν $MH \equiv MT$ δηλαδή όταν $K \equiv G$ ή τελικά όταν

$\boxed{PQ \bot Oz}$ .

Φιλικά, Νίκος

Ελάχιστο γινόμενο

Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση