Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.

1. Δίνονται 100 διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Οι οποίοι χωρίζονται σε 50 ζεύγη έτσι, ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε ζεύγους να είναι μεγαλύτερο του 1000. Να αποδείξετε ότι αν γράψουμε όλους τους 100 αριθμούς σε αύξουσα σειρά, τότε το άθροισμα του 50ου και του 51ου θα είναι και αυτό μεγαλύτερο του 1000.

2. Στις πλευρές

και

κυρτού τετράπλευρου ABCD

δίνονται δυο σημεία

και

αντίστοιχα. Τα ευθύγραμμα τμήματα

και

τέμνουν την διαγώνιο

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Αν τα τετράπλευρα BMPC

,

και

είναι εγγράψιμα να δείξετε, ότι $\angle BDN = \angle BDM$ .

3. Οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί a,b

είναι τέτοιοι, ώστε ο αριθμός p=8a+19b

να είναι πρώτος. Να δείξετε ότι ο αριθμός n=ab-7a-18b+1

δεν διαιρείται με τον

.

4. Ο Αλέξανδρος έχει έναν υπολογιστή τσέπης με 3 πλήκτρα τα οποία είναι προγραμματισμένα να υπολογίζουν τρεις συναρτήσεις:

$\dfrac{x+2}{2x+3} , \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}$ και $\sin {5x}$

(για x=-3/2

το πρώτο πλήκτρο δεν λειτουργεί). Οποιαδήποτε άλλη λειτουργία αυτός ο υπολογιστής δεν μπορεί να κάνει. Στην αρχή στην οθόνη του υπολογιστή εμφανίζεται ο αριθμός $\dfrac{1}{2}$ . Μπορεί ο Αλέξανδρος να εμφανίσει στην οθόνη αριθμό μεγαλύτερο του ενός εκατομμυρίου;

5. Σε πίνακα $8 \times 10$ κελιών είναι σημειωμένα τα κελιά των δυο πιο αριστερών στηλών και των δυο τελευταίων (κάτω) γραμμών, συνολικά 32 κελιά. Ο νεαρός σκακιστής Αλέξης, κάνοντας κίνηση σκακιστικού βασιλιά θέλει να διατρέξει όλα αυτά τα κελιά με την μια, αρχίζοντας και τελειώνοντας από το κελί στην κάτω αριστερή γωνία. Με πόσους τρόπους μπορεί ο Αλέξης να επιτύχει το ζητούμενο;

Υγ1. Στην ολυμπιάδα συμμετέχουν περίπου 10-15 χιλιάδες μαθητές κάθε χρόνο για τις τάξεις 6-11.
Υγ2. Στην επόμενη φάση για την 10η τάξη πέρασαν όσοι έλυσαν 2 θέματα.

JimNt. · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.

3. Οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε ο αριθμός να είναι πρώτος. Να δείξετε ότι ο αριθμός δεν διαιρείται με τον .

Υγ1. Στην ολυμπιάδα συμμετέχουν περίπου 10-15 χιλιάδες μαθητές κάθε χρόνο για τις τάξεις 6-11.
Υγ2. Στην επόμενη φάση για την 10η τάξη πέρασαν όσοι έλυσαν 2 θέματα.

Έστω προς άτοπο ότι $\frac{ab-7a-18b+1}{8a+19b} \in \mathbff{Z}$ . Έχουμε $\frac{ab-7a-18b+1}{8a+19b} =-1+\frac{(a+1)(b+1)}{8a+19b}$ . Πρέπει λοιπόν 8a+19b|(a+1)(b+1)

και επειδή 8a+19b

πρώτος θα είναι είτε 8a+19b|(a+1)

είτε

. Πρέπει όμως (αφού a,b

θετικοί ακέραιοι) $a+1\ge8a+19b$ $\Leftrightarrow$ $1\ge7a+19b$ ή (στην δεύτερη περίπτωση) $1\ge8a+18b$ , άτοπο σε κάθε περίπτωση.

JimNt. · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.

1. Δίνονται 100 διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Οι οποίοι χωρίζονται σε 50 ζεύγη έτσι, ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε ζεύγους να είναι μεγαλύτερο του 1000. Να αποδείξετε ότι αν γράψουμε όλους τους 100 αριθμούς σε αύξουσα σειρά, τότε το άθροισμα του 50ου και του 51ου θα είναι και αυτό μεγαλύτερο του 1000.

Υγ1. Στην ολυμπιάδα συμμετέχουν περίπου 10-15 χιλιάδες μαθητές κάθε χρόνο για τις τάξεις 6-11.
Υγ2. Στην επόμενη φάση για την 10η τάξη πέρασαν όσοι έλυσαν 2 θέματα.

Έστω προς άτοπο ότι ήταν εφικτό. Συμβολίζουμε με a_n

(όπου

η αύξουσα θέση του στην 100

άδα αριθμών) τον κάθε έναν από τους 100

ακέραιους. (Δηλαδή $a_{m+1}>a_m$ ). Τότε αφού $a_{51}+a_{50}<1000$ θα είναι $a_{51}+a_{50-f}< 1000$ με $f\le 49$ . Συνεπώς, (λαμβάνοντας υπόψη ότι $a_{f}+a_{l} < 1000$ με $f ≠ l , f,l \le 50$ ) κατα την δημιουργία των ζεύγων κάθε ένας από τους

σε πλήθος αριθμούς $a_1,a_2....,a_{50}$ θα σχηματίσει ζεύγος με έναν από τους ακεραίους $a_{52},a_{53}......,a_{100}$ , οι οποίοι όμως είναι 49<50

σε πλήθος, άτοπο.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

5. Σε πίνακα $8 \times 10$ κελιών είναι σημειωμένα τα κελιά των δυο πιο αριστερών στηλών και των δυο τελευταίων (κάτω) γραμμών, συνολικά 32 κελιά. Ο νεαρός σκακιστής Αλέξης, κάνοντας κίνηση σκακιστικού βασιλιά θέλει να διατρέξει όλα αυτά τα κελιά με την μια, αρχίζοντας και τελειώνοντας από το κελί στην κάτω αριστερή γωνία. Με πόσους τρόπους μπορεί ο Αλέξης να επιτύχει το ζητούμενο;

Στο σχήμα

φαίνεται το κάτω αριστερό $2 \times 2$ τμήμα του πίνακα με αριθμημένα τα κελιά. Θέλουμε η διαδρομή να αρχίσει και να τελειώσει από το κελί-1 και να περάσει μια μόνο φορά από όλα τα υπόλοιπα κελιά των δύο τελευταίων γραμμών και των δύο αριστερών στηλών.

Εύκολα βγαίνει το συμπέρασμα ότι η διαδρομή πρέπει πρώτα να φτάσει μέχρι το τέλος του ενός κλάδου (του οριζόντιου ή του κατακόρυφου) προχωρώντας κάθε φορά μόνο κατά μήκος ή διαγώνια, να τον ολοκληρώσει επιστρέφοντας μέσα από όλα τα αχρησιμοποίητα κελιά, και να συνεχίσει κάνοντας το ίδιο με τον άλλο κλάδο. Διαφορετικά θα ξεμείνουν αχρησιμοποίητα κελιά.

Στα σχήματα

και

φαίνονται οι δύο περιπτώσεις χρήσης των επόμενων 10-2-1=7

"ενδιάμεσων" τμημάτων διαστάσεων $2 \times 1$ του οριζόντιου κλάδου, και στα σχήματα

και

φαίνονται οι δύο περιπτώσεις χρήσης του "τελευταίου" $2 \times 1$ τμήμα του οριζόντιου κλάδου. Τα βέλη εξόδου από αυτά τα τμήματα δείχνουν το τετράγωνο από όπου αποχωρεί κάθε φορά η διαδρομή και όχι ποιο είναι το επόμενο κελί. Το επόμενο κελί μπορεί να βρίσκεται και σε διαγώνια κατεύθυνση. Παρόμοια ισχύουν για τον κατακόρυφο κλάδο.

Για λόγους ευκολίας υποθέτουμε ότι πρώτα θα ολοκληρώσει τον οριζόντιο και μετά τον κατακόρυφο κλάδο. Στο τέλος θα διπλασιάσουμε το πλήθος των δυνατών τρόπων.

1η περίπτωση: η μετάβαση από τον οριζόντιο στον κατακόρυφο κλάδο γίνεται μέσω του κελιού-3:

Μέσα στο $2 \times 2$ τμήμα δεν γίνεται να έχουμε διαγώνια κίνηση γιατί έτσι δεν θα υπάρχει δίοδος για την τελευταία κίνηση. Η μόνη δυνατή διαδρομή είναι:
κελί-1, κελί-4, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, κελί-3, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί-2, κελί-1.

Για την ολοκλήρωση του οριζόντιου κλάδου, ισχύει ότι για κάθε ένα από τα

"ενδιάμεσα" τμήματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε από τις

αντίστοιχες παραλλαγές (σχήματα

και

). Η μία από αυτές θα αντιστοιχεί σε οριζόντια και η άλλη σε διαγώνια κίνηση. Η διαδρομή επιστροφής θα περνάει με μοναδικό τρόπο από τα αχρησιμοποίητα τετράγωνα. Επίσης, για το "τελευταίο" τμήμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε από τις

αντίστοιχες παραλλαγές (σχήματα

και

).

Άρα για τον οριζόντιο κλάδο έχουμε 2^8

διαφορετικούς τρόπους για την ολοκλήρωσή του. Ομοίως για τον κατακόρυφο κλάδο έχουμε 2^6

διαφορετικούς τρόπους για την ολοκλήρωσή του. Συνολικά έχουμε $2^8 \cdot2^6 = 2^{14}$ διαφορετικούς τρόπους.

2η περίπτωση: η μετάβαση από τον οριζόντιο στον κατακόρυφο κλάδο γίνεται απευθείας, με διαγώνια κίνηση από το κελί που βρίσκεται δεξιά του κελιού-3 προς το κελί που βρίσκεται πάνω από κελί-3:

Έχουμε

περιπτώσεις για τη διαδρομή:
1) κελί-1, κελί-4, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί-2, κελί 3, κελί-1.
2) κελί-1, κελί-4, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί-3, κελί 2, κελί-1.
3) κελί-1, κελί-3, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί-2, κελί 4, κελί-1.
4) κελί-1, κελί-4, κελί-3, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί 2, κελί-1.
5) κελί-1, κελί-3, κελί-4, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί 2, κελί-1.
6) κελί-1, κελί-2, κελί-4, ολοκλήρωση οριζόντιου κλάδου, ολοκλήρωση κατακόρυφου κλάδου, κελί 3, κελί-1.

Να σημειωθεί ότι ο οριζόντιος κλάδος υποχρεωτικά θα ξεκινήσει με το κάτω-κελί του πρώτου "ενδιάμεσου" τμήματος και ο κατακόρυφος κλάδος υποχρεωτικά θα τελειώσει με το αριστερό-κελί του πρώτου "ενδιάμεσου" τμήματος.Άρα για τον οριζόντιο κλάδο έχουμε 2^7

διαφορετικούς τρόπους για την ολοκλήρωσή του. Ομοίως για τον κατακόρυφο κλάδο έχουμε 2^5

διαφορετικούς τρόπους για την ολοκλήρωσή του.

Συνολικά έχουμε $6 \cdot 2^7 \cdot2^5 = 3 \cdot 2^{13}$ τρόπους.

Αθροίζοντας τους τρόπους και των δύο περιπτώσεων έχουμε: $2^{14} + 3 \cdot 2^{13} = 5 \cdot 2^{13}$ τρόπους.

Διπλασιάζοντας το αποτέλεσμα για να λάβουμε υπόψη ότι μπορεί πρώτα να ολοκληρώνεται ο κατακόρυφος κλάδος και μετά ο οριζόντιος έχουμε συνολικά $5 \cdot 2^{14}$ τρόπους.

Edit: έγινε διόρθωση της αρχικής λύσης σύμφωνα με τη συζήτηση που ακολούθησε

#5

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

5. Σε πίνακα $8 \times 10$ κελιών είναι σημειωμένα τα κελιά των δυο πιο αριστερών στηλών και των δυο τελευταίων (κάτω) γραμμών, συνολικά 32 κελιά. Ο νεαρός σκακιστής Αλέξης, κάνοντας κίνηση σκακιστικού βασιλιά θέλει να διατρέξει όλα αυτά τα κελιά με την μια, αρχίζοντας και τελειώνοντας από το κελί στην κάτω αριστερή γωνία. Με πόσους τρόπους μπορεί ο Αλέξης να επιτύχει το ζητούμενο;
Εύκολα βγαίνει το συμπέρασμα ότι η διαδρομή πρέπει πρώτα να αρχίσει από το κάτω αριστερό $2 \times 2$ τμήμα του πίνακα, να φτάσει μέχρι το τέλος του ενός κλάδου (του οριζόντιου ή του κατακόρυφου), να επιστρέψει πίσω στο κάτω αριστερό $2 \times 2$ τμήμα χρησιμοποιώντας τα αχρησιμοποίητα τετράγωνα, και να κάνει το ίδιο με τον άλλο κλάδο.

Υπάρχει και η περίπτωση να μετακινηθεί απευθείας μεταξύ των δύο κλάδων και όχι μέσω του $2\times 2$ τετραγώνου. Μπορεί να μετακινηθεί μεταξύ των Β3 και Γ2.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: 4. Ο Αλέξανδρος έχει έναν υπολογιστή τσέπης με 3 πλήκτρα τα οποία είναι προγραμματισμένα να υπολογίζουν τρεις συναρτήσεις:

$\dfrac{x+2}{2x+3} , \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}$ και $\sin {5x}$

(για το πρώτο πλήκτρο δεν λειτουργεί). Οποιαδήποτε άλλη λειτουργία αυτός ο υπολογιστής δεν μπορεί να κάνει. Στην αρχή στην οθόνη του υπολογιστή εμφανίζεται ο αριθμός $\dfrac{1}{2}$ . Μπορεί ο Αλέξανδρος να εμφανίσει στην οθόνη αριθμό μεγαλύτερο του ενός εκατομμυρίου;

Καλό! Όχι δεν μπορούμε. Έστω $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_m$ μια ακολουθία αριθμών που μπορούμε να εμφανίσουμε στον υπολογιστή με x_1 = 1/2

. Απλά παρατηρούμε ότι αν $|x_n| \leqslant 1$ τότε $|x_{n+1}| \leqslant 1$ και τελειώσαμε αφού $x_m \leqslant 1 \leqslant 10^6$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

Demetres έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

5. Σε πίνακα $8 \times 10$ κελιών είναι σημειωμένα τα κελιά των δυο πιο αριστερών στηλών και των δυο τελευταίων (κάτω) γραμμών, συνολικά 32 κελιά. Ο νεαρός σκακιστής Αλέξης, κάνοντας κίνηση σκακιστικού βασιλιά θέλει να διατρέξει όλα αυτά τα κελιά με την μια, αρχίζοντας και τελειώνοντας από το κελί στην κάτω αριστερή γωνία. Με πόσους τρόπους μπορεί ο Αλέξης να επιτύχει το ζητούμενο;
Εύκολα βγαίνει το συμπέρασμα ότι η διαδρομή πρέπει πρώτα να αρχίσει από το κάτω αριστερό $2 \times 2$ τμήμα του πίνακα, να φτάσει μέχρι το τέλος του ενός κλάδου (του οριζόντιου ή του κατακόρυφου), να επιστρέψει πίσω στο κάτω αριστερό $2 \times 2$ τμήμα χρησιμοποιώντας τα αχρησιμοποίητα τετράγωνα, και να κάνει το ίδιο με τον άλλο κλάδο.
Υπάρχει και η περίπτωση να μετακινηθεί απευθείας μεταξύ των δύο κλάδων και όχι μέσω του $2\times 2$ τετραγώνου. Μπορεί να μετακινηθεί μεταξύ των Β3 και Γ2.

Το ίδιο μου είχε επισημάνει και ο κ. Κουτσουρίδης αλλά δεν το είχα δει ακόμα. Με μια πρώτη ματιά βλέπω ότι οι περιπτώσεις πολλαπλασιάζονται... Θα το ξαναδώ...

Edit: Έγινε διόρθωση στην αρχική λύση. Ελπίζω να μην ξέφυγε κάτι!

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Μέλη σε σύνδεση