Ρίζες Πολυωνύμου (Από C.V. Durell "Advanced Algebra")

#1

Να επιλυθεί η εξίσωση

$x^{4}-11x^{3}+28x^{2}+36x-144=0$

αν είναι γνωστό ότι το γινόμενο του ενός ζεύγους ριζών της διαφέρει από το γινόμενο του άλλου ζεύγους κατά πρόσημο.

#2

Πολλές πράξεις Αναστάση ...
Έστω x_1,x_2,x_3,x_4

οι ρίζες του με _1x_2=-x_3x_4=k

.
Τότε θα πρέπει να ισχύει ότι:
x^4-11x^3+28x^2+36x-144=(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)(x^2-(x_3+x_4)x+x_3x_4)

.

Συνεπώς: $x_1x_2x_3x_4=-144 \Leftrightarrow -k^2=-144 \Leftrightarrow k= \pm 12$ .

Επιπλεόν με επιμεριστικές και παίρνοντας την ισότητα των πολυωνύμων βρίσκουμε ότι:
-11=-x_1-x_2-x_3-x_4 (I)

Προσθέτοντας και αφαιρώντας αντίστοιχα τις (Ι) και (ΙΙΙ) βρίσκουμε ότι:
x_1+x_2=7 (IV)

* Αν

, έχουμε ότι: $\displaystyle {x_2=\frac{12}{x_1},x_4=-\frac{12}{x_3}}$
οπότε αντικαθιστώντας στις (IV), (V) βρίσκουμε ότι: x_1=4

ή

και

ή

. Επομένως οι ρίζες είναι οι: -2, 3, 4, 6.

* Αν k=-12

, έχουμε ότι: $\displaystyle {x_2=-\frac{12}{x_1},x_4=\frac{12}{x_3}}$
οπότε αντικαθιστώντας στην (V) η εξίσωση είναι αδύνατη.

Ρίζες Πολυωνύμου (Από C.V. Durell "Advanced Algebra")

Ρίζες Πολυωνύμου (Από C.V. Durell "Advanced Algebra")

Re: Ρίζες Πολυωνύμου (Από C.V. Durell "Advanced Algebra")

Μέλη σε σύνδεση