Putnam 2016/B4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2016/B4
Έστω ένας πίνακας . Τα στοιχεία του επιλέγονται ανεξάρτητα στην τύχη με κάθε στοιχείο να ισούται είτε με είτε με κάθε ένα με πιθανότητα .
Να υπολογιστεί η προσδοκόμενη τιμή του .
Να υπολογιστεί η προσδοκόμενη τιμή του .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Putnam 2016/B4
Για τον πίνακα ισχύει και, για , με πιθανότητα , με πιθανότητα και με πιθανότητα .
Θυμίζω ότι όπου για άρτια και για περιττή μετάθεση.
Έστω . Θεωρούμε την προσδοκώμενη τιμή του όρου . Ισχύει για .
Αν η έχει σταθερό σημείο τότε .
Επίσης, αν ισχύει και για κάποια , τότε .
Έτσι, περιοριζόμαστε στις μεταθέσεις που αποτελούνται από εναλλαγές (το πλήθος τους είναι ). Ισχύει .
Οπότε .
(Παρεμπιπτόντως, για πίνακα περιττής διάστασης δεν υπάρχει κατάλληλη μετάθεση και η αντίστοιχη τιμή είναι ).
Θυμίζω ότι όπου για άρτια και για περιττή μετάθεση.
Έστω . Θεωρούμε την προσδοκώμενη τιμή του όρου . Ισχύει για .
Αν η έχει σταθερό σημείο τότε .
Επίσης, αν ισχύει και για κάποια , τότε .
Έτσι, περιοριζόμαστε στις μεταθέσεις που αποτελούνται από εναλλαγές (το πλήθος τους είναι ). Ισχύει .
Οπότε .
(Παρεμπιπτόντως, για πίνακα περιττής διάστασης δεν υπάρχει κατάλληλη μετάθεση και η αντίστοιχη τιμή είναι ).
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες