Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Ιαν 21, 2017 1:11 pm

Πρόβλημα 1

Ένας πατέρας αποφάσισε να μοιράσει στα παιδιά του ένα χρηματικό ποσό που έχει στην τράπεζα ως εξής:

Το πρώτο παιδί θα πάρει \displaystyle{10000} ευρώ και το \displaystyle{1/8} του υπολοίπου. Μετά την αφαίρεση του μεριδίου του πρώτου παιδιού, το δεύτερο παιδί θα πάρει \displaystyle{20000} ευρώ και το \displaystyle{1/8} του υπολοίπου. Μετά την αφαίρεση των μεριδίων του πρώτου και δεύτερου παιδιού, το τρίτο παιδί θα πάρει \displaystyle{30000} ευρώ και το \displaystyle{1/8} του υπολοίπου. Η διαδικασία αυτή ακολουθείται για όλα τα παιδιά. Αν είναι γνωστό ότι με την πιο πάνω διαδικασία, το χρηματικό ποσό μοιράστηκε εξίσου σε όλα τα παιδιά και δεν μένει υπόλοιπο στο τέλος, να βρείτε:

(α) πόσα είναι όλα τα παιδιά,

(β) ποιο είναι το χρηματικό ποσό που ο πατέρας αποφάσισε να μοιράσει στα παιδιά του και

(γ) ποιο είναι το μερίδιο του κάθε παιδιού.

Πρόβλημα 2

Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του ακέραιου αριθμού \displaystyle{x}, για τις οποίες ο \displaystyle{k=\sqrt{x^2-6x+14}} είναι ακέραιος αριθμός.

Πρόβλημα 3

Σε τετράπλευρο \displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}} είναι \displaystyle{\rm{AB}=\rm{\Delta\Gamma}}. Αν \displaystyle{\rm{E, Z}} είναι τα μέσα των πλευρών του \displaystyle{\rm{A\Delta, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ευθεία \displaystyle{\rm{EZ}} σχηματίζει ίσες γωνίες με τις ευθείες \displaystyle{\rm{AB}} και \displaystyle{\rm{\Gamma\Delta}}.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό \displaystyle{2016} ως γινόμενο τριών θετικών ακεραίων, αν μας ενδιαφέρει η σειρά των παραγόντων του γινομένου (πχ τα γινόμενα \displaystyle{1\cdot 2\cdot 1008} και \displaystyle{2\cdot 1\cdot 1008} θεωρούνται διαφορετικά).


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 21, 2017 1:36 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του ακέραιου αριθμού \displaystyle{x}, για τις οποίες ο \displaystyle{k=\sqrt{x^2-6x+14}} είναι ακέραιος αριθμός.

Πρέπει x^2-6x+14=m^2 , με m ακέραιο. Έχουμε την β'βάθμια x^2-6x+14-m^2=0 της οποίας η \Delta=4m^2-20 πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Πρέπει δηλαδή 4m^2-20=a^2 \Leftrightarrow (2m+a)(2m-a)=20. Παίρνοντας μία μια τις περιπώσεις που προκύπτουν παίρνουμε m=-3,+3. Συνεπώς πρέπει x^2-6x+5=0 \Leftrightarrow (x-5)(x-1)=0 \Leftrightarrow \boxed{x=5,1}.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 21, 2017 1:41 pm

1) Έστω x τα χρήματα στην αρχή σχηματίζουμε την εξισωση:

10000+1/8(x-10000)=20000+1/8(x-30000-1/8(x-10000) οπου παίρνουμε x=490000 και τα υπόλοιπα έρχονται μόνα τους. (7 παιδια και 70000 το καθένα)

ΥΓ. Πολυ χρήμα ο πατέρας :D


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 21, 2017 1:46 pm

JimNt. έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του ακέραιου αριθμού \displaystyle{x}, για τις οποίες ο \displaystyle{k=\sqrt{x^2-6x+14}} είναι ακέραιος αριθμός.

Πρέπει x^2-6x+14=m^2 , με m ακέραιο.
Εναλλακτικά:

x^2-6x+14=m^2\Leftrightarrow (x-3)^2+5=m^2 και εύκολα βρίσκουμε πως τα μοναδικά τέλεια τετράγωνα που "απέχουν" 5 είναι το 2^2 και το 3^2, άρα (x-3)^2=4 \Leftrightarrow x=5 ή x=1


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 21, 2017 2:42 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1


Πρόβλημα 4

Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό \displaystyle{2016} ως γινόμενο τριών θετικών ακεραίων, αν μας ενδιαφέρει η σειρά των παραγόντων του γινομένου (πχ τα γινόμενα \displaystyle{1\cdot 2\cdot 1008} και \displaystyle{2\cdot 1\cdot 1008} θεωρούνται διαφορετικά).
Διαγραφή πιθανώς λανθασμένη λύσης.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Σάβ Ιαν 21, 2017 3:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 21, 2017 3:02 pm

Και εγω δεν ειμαι σίγουρος.

2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7.

Αρα οι ζητουμενοι τρεις αριθμοι θα ειναι της μορφής

a=2^{x_1}3^{y_1}7^{z_1}

b=2^{x_2}3^{y_2}7^{z_2}

c=2^{x_3}3^{y_3}7^{z_3}

Και αφου υπαρχουν 21 τροποι ωστε το άθροισμα των εκθετών του 2 να ειναι 5, 6 ωστε του 3 να ειναι 2 και 3 ωστε του 7 να ειναι 1 εχουμε συνολικά 378 τρόπους.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Σάβ Ιαν 21, 2017 7:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3952
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιαν 21, 2017 5:33 pm

Soteris έγραψε:...

Πρόβλημα 3
Σε τετράπλευρο \displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}} είναι \displaystyle{\rm{AB}=\rm{\Delta\Gamma}}. Αν \displaystyle{\rm{E, Z}} είναι τα μέσα των πλευρών του \displaystyle{\rm{A\Delta, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ευθεία \displaystyle{\rm{EZ}} σχηματίζει ίσες γωνίες με τις ευθείες \displaystyle{\rm{AB}} και \displaystyle{\rm{\Gamma\Delta}}.
Πρόβλημα 3.png
Πρόβλημα 3.png (25.4 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές
Έστω K\equiv AB\cap EZ , L\equiv CD\cap EZ και M\equiv AB\cap CD . Θεωρούμε το συμμετρικό F του συμμετρικού του A ως προς το Z .

Τότε ABFC παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) άρα CF=AB=CD\Rightarrow \vartriangle CDF ισοσκελές οπότε \boxed{\angle CDF = \angle CFD}:\left( 1 \right)

και \boxed{ZE\parallel FD}:\left( 2 \right) (αφού E,Z τα μέσα των AD,AF αντίστοιχα). Τότε ισχύει:

\angle AKE=\angle CFD (παράλληλες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) \overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\angle CDF\equiv \angle LDF\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,\angle ELD και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 21, 2017 7:35 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Και αφου υπαρχουν 15 τροποι ωστε το άθροισμα των εκθετών του 2 να ειναι 5
Νομίζω πως είναι 21 τρόποι.

Παρόλα αυτά νομίζω η βασική ιδέα είναι σωστή :coolspeak:


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 21, 2017 7:42 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Και αφου υπαρχουν 15 τροποι ωστε το άθροισμα των εκθετών του 2 να ειναι 5
Νομίζω πως είναι 21 τρόποι.

Παρόλα αυτά νομίζω η βασική ιδέα είναι σωστή :coolspeak:
Πολύ σωστά Διονύση το διορθώνω.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8176
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 22, 2017 11:28 am

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Σε τετράπλευρο \displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}} είναι \displaystyle{\rm{AB}=\rm{\Delta\Gamma}}. Αν \displaystyle{\rm{E, Z}} είναι τα μέσα των πλευρών του \displaystyle{\rm{A\Delta, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ευθεία \displaystyle{\rm{EZ}} σχηματίζει ίσες γωνίες με τις ευθείες \displaystyle{\rm{AB}} και \displaystyle{\rm{\Gamma\Delta}}.
Ας το δούμε και με διανυσματικές μεθόδους:

Έστω \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d} τα διανύσματα θέσης των A,B,\Gamma και \Delta αντιστοιχα. Τότε

\displaystyle{ \overrightarrow{OE} = \frac{\mathbf{a}+\mathbf{d}}{2}} και \displaystyle{ \overrightarrow{OZ} = \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}}

Άρα

\displaystyle{ \overrightarrow{EZ} = \frac{(\mathbf{b}-\mathbf{a})+(\mathbf{c}-\mathbf{d})}{2}}

Οπότε

\displaystyle{ \overrightarrow{EZ} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left( (BA)^2 + (\mathbf{c}-\mathbf{d}) \cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a})\right)}

Δηλαδή αν \vartheta_1 η γωνία που σχηματίζει η EZ με την AB τότε

\displaystyle{ \cos{\vartheta_1} = \frac{(BA)^2 + (\mathbf{c}-\mathbf{d}) \cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a})}{2(EZ)(AB)}}

Αναλόγως, αν \vartheta_2 η γωνία που σχηματίζει η EZ με την \Gamma \Delta τότε

\displaystyle{ \cos{\vartheta_2} = \frac{(\Gamma \Delta)^2 + (\mathbf{b}-\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{c}-\mathbf{d})}{2(EZ)(\Gamma \Delta)}}

Επομένως είναι \vartheta_1=\vartheta_2 όπως θέλαμε να δείξουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης