Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

Grigoris K. · #1

Σήμερα κλείνεις τα 30 και οι φίλοι σου αγόρασαν μια τούρτα με 30 κεριά. Κάνεις μια ευχή και προσπαθείς να τα σβήσεις. Κάθε φορά που φυσάς, σβήνεις τυχαίο πλήθος κεριών μεταξύ του ενός και του αριθμού των κεριών που
απομένουν (συμπεριλαμβανομένων των άκρων). Πόσες φορές, κατά μέσο όρο, πρέπει να φυσήξεις μέχρι να σβήσουν όλα τα κεριά;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Ας γράψουμε T(n)

για το πόσες φορές πρέπει να φυσήξουμε κατά μέσο όρο ώστε να σβήσουμε

κεριά.

Τότε T(0)=0,T(1)=1

και

$\displaystyle{ \begin{aligned} T(n) &= 1 + \frac{T(0) + T(1) + \cdots + T(n-1)}{n} \\ &= 1 + \frac{n-1}{n}\frac{T(0) + T(1) + \cdots + T(n-2)}{n} + \frac{T(n-1)}{n} \\ &= 1 + \frac{n-1}{n}(T(n-1)-1) + \frac{T(n-1)}{n} \\ &= T(n-1) + \frac{1}{n} \end{aligned} }$

Άρα $\displaystyle{T(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}$

Για n=30

έχουμε $\displaystyle{ T(30) \approx 3.99}$

Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

Re: Κεριά σε τούρτα γενεθλίων

Μέλη σε σύνδεση