Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

almaxios · #1

1) Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ώστε $f''(x)>0,x\epsilon R$ και f(1)=f(2)

. Να δειχθεί ότι :
α. $f(x)\geq xf'(0)+f(0)$

b. f'(1)<0<f'(2)

c. η f εχει ολικο ελαχιστο
d. $f(x)<f(1),x\epsilon (1,2)$

2) Εστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση 2 φορές παραγωγίσιμη με $f(5)-f(3)\leqslant 2f'(x)\leqslant f'(1)+f'(2),x\epsilon R$ Να αποδειχθεί ότι
a. f'(1)=f'(2)

b. η f ' έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο
c. η f ' ' έχει 4 τουλάχιστον πραγματικές ρίζες

Στην 1η ασκηση το β βγαινει ευκολα με Θ. Rolle για την f στο [1,2] και χρηση της μονοτονιας . Το γ βγαινει χρησιμοποιώντας την ριζα απο το Rolle του β ερωτηματος στην οποια και η f εχει ελαχιστο.. Το α και το δ ερωτημα ομως πως βγαινουν ??? Δοκιμασα ΘΜΤ , δοκιμασα νεα συναρτηση και δεν καταφερα κατι..

Στην 2η ασκηση δεν μπορω να σκεφτω κατι για το γ ερωτημα....

Ευχαριστω προκαταβολικα για την βοηθεια / καθοδηγηση....

***** Εχει γίνει διόρθωση στο ζητουμενο α της 1ης ασκησης

Tolaso J Kos · #2

almaxios έγραψε:1) Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ώστε $f''(x)>0,x\epsilon R$ και . Να δειχθεί ότι :
α. $f(x)\leqslant xf'(0)+f(0), x\epsilon R$
b.
c. η f εχει ολικο ελαχιστο
d. $f(x)<f(1),x\epsilon (1,2)$

Ας πιάσουμε αυτή και ας δούμε το (α) ερώτημα. Εφόσον f''(x)>0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ μήπως μπορείς να συμπεράνεις τι κοιλότητα έχει η

; Αν ναι, τότε ποια είναι η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ στο x_0=0

; Τι σχέση έχει η εφαπτομένη με τη κοιλότητα της

;

Αν μπορέσεις να απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα, τότε το (α) ερώτημα θα σου βγει αμέσως.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

1. α Η συνάρτηση είναι κυρτή. Βρες την εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο ...
και έχεις αποδείξει το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε:
almaxios έγραψε:1) Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ώστε $f''(x)>0,x\epsilon R$ και . Να δειχθεί ότι :
α. $f(x)\leqslant xf'(0)+f(0), x\epsilon R$
b.
c. η f εχει ολικο ελαχιστο
d. $f(x)<f(1),x\epsilon (1,2)$
Ας πιάσουμε αυτή και ας δούμε το (α) ερώτημα. Εφόσον για κάθε $x \in \mathbb{R}$ μήπως μπορείς να συμπεράνεις τι κοιλότητα έχει η ; Αν ναι, τότε ποια είναι η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ στο ; Τι σχέση έχει η εφαπτομένη με τη κοιλότητα της ;

Αν μπορέσεις να απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα, τότε το (α) ερώτημα θα σου βγει αμέσως.

Δεν θα σου βγει το ζητούμενο που φυσικά είναι λάθος.
Πάρε $f(x)=(x-\frac{3}{2})^{2}$
Θα βρεις $f(x)\geq f(0)+f'(0)x$

Tolaso J Kos · #5

Σταύρο, έχεις δίκιο. Οφείλω να ομολογήσω πως ακολούθησα τη μέθοδο τυφλοσούρτι. Τι θέλουμε , τι έχουμε ; Τα ενωνούμε και βγαίνει. Οπότε, πρέπει να έχει τυπογραφικό εδώ.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #6

Πράγματι, πρέπει στην εκφώνηση του πρώτου ερώτηματος να αλλαχτεί η φορά.
Για το τελευταίο ερώτημα, αν χρησιμοποιήσεις το γ και την υπόθεση f(1)=f(2)

θα έχεις το ζητούμενο.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #7

almaxios έγραψε:
2) Εστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση 2 φορές παραγωγίσιμη με $f(5)-f(3)\leqslant 2f'(x)\leqslant f'(1)+f'(2),x\epsilon R$ Να αποδειχθεί ότι
a.
b. η f ' έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο
c. η f ' ' έχει 4 τουλάχιστον πραγματικές ρίζες

Στην 2η ασκηση δεν μπορω να σκεφτω κατι για το γ ερωτημα....

Ευχαριστω προκαταβολικα για την βοηθεια / καθοδηγηση....

Η

έχει μια ρίζα στο (1,2)

και επειδή η

παρουσιάζει ακρότατο στο (3,5)

και στα

και είναι παραγωγίσιμη, απο Fermat...

Ελπίζω η βοήθεια αυτή να είναι αρκετή και περιμένω την διόρθωση της εκφώνησης στο 1α

almaxios · #8

NIZ έγραψε:
almaxios έγραψε:
2) Εστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση 2 φορές παραγωγίσιμη με $f(5)-f(3)\leqslant 2f'(x)\leqslant f'(1)+f'(2),x\epsilon R$ Να αποδειχθεί ότι
a.
b. η f ' έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο
c. η f ' ' έχει 4 τουλάχιστον πραγματικές ρίζες

Στην 2η ασκηση δεν μπορω να σκεφτω κατι για το γ ερωτημα....

Ευχαριστω προκαταβολικα για την βοηθεια / καθοδηγηση....
Η έχει μια ρίζα στο και επειδή η παρουσιάζει ακρότατο στο και στα και είναι παραγωγίσιμη, απο Fermat...

Ελπίζω η βοήθεια αυτή να είναι αρκετή και περιμένω την διόρθωση της εκφώνησης στο 1α

Ευχαριστώ πολύ.

Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Re: Βοηθεια σε ασκησεις στα Ακροτατα

Μέλη σε σύνδεση