Ανάποδα ημικύκλια

[Doloros]

Ανάποδα ημικύκλια.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

Έστω τα συνευθειακά σημεία ( με αυτή τη σειρά) . Εκατέρωθεν της ευθείας

θεωρούμε τα ημικύκλια διαμέτρων . Κύκλος με κέντρο το μέσο

του υποθέτουμε ότι τέμνει το ένα ημικύκλιο στο και το άλλο στο .

Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Νίκος

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Θα το αντιμετωπίσουμε λίγο ανάποδα. Συγκεκριμένα, θα θεωρήσουμε πως τα είναι συνευθειακά και θα αποδείξουμε πως το βρίσκεται πάνω στο ημικύκλιο με διάμετρο .
Αρκεί λοιπόν ή ότι .

Έστω και τα σημεία τομής του κύκλου με την . Φέρνουμε την , την , την και την .
Προφανώς θα είναι , συνεπώς (1).

Ακόμα φέρνουμε κύκλο με ακτίνα και κέντρο το που τέμνει τον κύκλο με κέντρο το στο (το είναι στο ίδιο ημικύκλιο με το ). H τέμνει τον κύκλο και στο σημείο .

Τα τρίγωνα και είναι ίσα, καθώς:





Συνεπώς έχουμε ότι (2).

Τα τρίγωνα τώρα και είναι ίσα, καθώς:





Άρα συνδυάζοντας και την σχέση (1), έχουμε ότι:

.

Όμως οι γωνίες και είναι εγγράψιμες στον ίδιο κύκλο και αφού είναι και ίσες ισχύει ότι τα τόξα και είναι ίσα, επομένως το είναι το συμμετρικό του ως προς στην .

Συνεπώς έχουμε ότι .

Από την παραπάνω σχέση και την σχέση (2) έχουμε ότι που αποδεικνύει ότι .

[KARKAR]

Ανάποδα ημικύκλια.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

Από το φέρω την ευθεία που διέρχεται από το και ονομάζω το σημείο

στο οποίο τέμνει το άλλο ημικύκλιο . Η κάθετη από το προς την , είναι

η μεσοκάθετή της , συνεπώς ο κύκλος διέρχεται και από το .

[Doloros]

Ανάποδα ημικύκλια.pngΑπό το φέρω την ευθεία που διέρχεται από το και ονομάζω το σημείο

στο οποίο τέμνει το άλλο ημικύκλιο . Η κάθετη από το προς την , είναι

η μεσοκάθετή της , συνεπώς ο κύκλος διέρχεται και από το .

Με αυτό το σκεπτικό φτιάχτηκε ή άσκηση λαμβάνοντας υπ όψιν και το θέμα σου " ίσα τμήματα 3".


Φιλικά , Νίκος

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Υπήρχε τόσο απλή λύση !;