Ιδιότητα περιγεγραμμένων τετραπλεύρων

#1

Είναι γνωστό θεώρημα. Το πιθανότερο είναι ότι έχει συζητηθεί ξανά. Αυτό όμως που μας απασχολεί εδώ, είναι πόσοι διαφορετικοί

τρόποι απόδειξης υπάρχουν, σχολικής ή και μη σχολικής ύλης (γι' αυτό και ο συγκεκριμένος φάκελος). Το αφήνω στη διάθεσή σας.

: Ιδιότητα περιγεγραμμένων τετραπλεύρων.png (21.73 KiB) Προβλήθηκε 1557 φορές

Θεώρημα: Αν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο και είναι τα σημεία επαφής των πλευρών του

με τον εγγεγραμμένο κύκλο, τότε οι διαγώνιοι των τετραπλεύρων και διέρχονται από το ίδιο σημείο.

dement · #2

Είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος Brianchon στο εκφυλισμένο εξάγωνο AMBCKD

(και ομοίως για το ABLCDN

). Τα εξάγωνα είναι περιγεγραμμένα σε κύκλο οπότε οι κύριες διαγώνιοί τους συντρέχουν.

Al.Koutsouridis · #3

Ένας άλλος τρόπος είναι με μιγαδικούς. Εύκολος στην σκέψη, αλλά πολλές πράξεις ρουτίνας. Χρειαζόμαστε τις ακόλουθες προτάσεις:

Πρόταση 1: Οι μιγαδικοί

ανήκουν στην ευθεία

να και μόνο αν ικανοποιούν την
$(\overline{a}-\overline{b})z+(b-a)\overline{z} +a\overline{b}-b\overline{a} = 0$

Πρόταση 2α: Αν τα σημεία βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο τότε το σημείο τομής των χωρδών ικανοποιεί την εξίσωση

$\overline{z} = \dfrac{(a+b)-(c+d)}{ab-cd}$

Πρόταση 2β: Αν δυο σημεία του μοναδιαίου κύκλου, τότε οι εφαπτομένες από τα σημεία αυτά θα τέμνονται σε σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση $z = \dfrac{2ab}{a+b}$ . Που στην ουσία είναι εκφυλισμένη περίπτωση της πρότασης 2α.

Στο προβλημά μας θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι ο κύκλος είναι ο μαδιαίος οπότε θα έχουμε από τις παραπάνω προτάσεις:

$a = \dfrac{2nm}{n+m}$

$b = \dfrac{2ml}{m+l}$

$c = \dfrac{2kl}{k+l}$

$d = \dfrac{2kn}{k+n}$

$\overline{s} = \dfrac{(m+k)-(n+l)}{mk-nl}$

Εφαρμόζοντας τώρα την Πρόταση 1, για τα a,s,c

και

, και έχoντας υπόψη ότι $n\overline{n} =1 , m\overline{m} =1, k\overline{k} =1, l\overline{l} =1$ (αφού ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο), καταλλήγουμε σε μια μεγάλη έκφραση, όπου αν γίνουν οι αναγωγές ομοίων όρων (χρονοβόρo αλλά εύκολο) οδηγούν στο επιθυμητό αποτέλεσμα.

Ιδιότητα περιγεγραμμένων τετραπλεύρων

Ιδιότητα περιγεγραμμένων τετραπλεύρων

Re: Ιδιότητα περιγεγραμμένων τετραπλεύρων

Re: Ιδιότητα περιγεγραμμένων τετραπλεύρων

Μέλη σε σύνδεση