Πλέγμα

harrisp · #1

Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;

JimNt. · #2

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;

Νομίζω πρέπει να αναφερθεί και η απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα σημεία, γιατί εκτός από τα προφανή τρίγωνα υπάρχουν και άλλα που μπορούν να προκύψουν ανάλογα με το μήκος της απόστασης αυτής.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;

Σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν

τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $3 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν

τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $5 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν

τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $7 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν

τέτοια ορθογώνια.

$\vdots$

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο $49 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν

τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά $4 \cdot 49 + 2(2+4+6+ \ldots + 48) = 4 \cdot 49 + 2\cdot 24 \dfrac{2+48}{2}=1396$

(Θεωρούμε ότι όλες οι αποστάσεις του πλέγματος είναι ίσες μεταξύ τους)

harrisp · #4

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $3 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $5 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $7 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Κλπ

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο $49 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά $4 \cdot 49 + 2(2+4+6+ \ldots + 48) = 4 \cdot 49 + 2\cdot 24 \dfrac{2+48}{2}=1396$

(Θεωρούμε ότι όλες οι αποστάσεις του πλέγματος είναι ίσες μεταξύ τους)

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Νομίζω πρέπει να αναφερθεί και η απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα σημεία, γιατί εκτός από τα προφανή τρίγωνα υπάρχουν και άλλα που μπορούν να προκύψουν ανάλογα με το μήκος της απόστασης αυτής.

Ναι έχετε δίκιο.

JimNt. · #5

Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση

. Τα τρίγωνα που βρήκε ο Διονύσης είναι αυτά που θα είναι ισοσκελή για κάθε τιμή της αμοιβαίας απόστασης. Ωστόσο με Π.Θ γίνεται αντιληπτό ότι υπάρχει και άλλο πλήθος αμβλυγωνίων ισοσκελών που προστίθενται στο αρχικό σύνολο για συγκεκριμένες τιμές της απόστασης.

harrisp · #6

JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση .

Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.

JimNt. · #7

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση .
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.

Θα ήταν καλύτερο να τεθεί για συγκεκριμένη τιμή της απόστασης.

harrisp · #8

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση .
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.
Θα ήταν καλύτερο να τεθεί για συγκεκριμένη τιμή της απόστασης.

Δεν διαφωνώ. Στην λυση της άσκησης υποθέτουμε οτι οι αποστάσεις ειναι μοναδιαιες. Π.χ στην περίπτωση που απέχουν κατα

αλλάζει κατι; (Δεν το εχω δει)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση .
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.
Θα ήταν καλύτερο να τεθεί για συγκεκριμένη τιμή της απόστασης.
Δεν διαφωνώ. Στην λυση της άσκησης υποθέτουμε οτι οι αποστάσεις ειναι μοναδιαιες. Π.χ στην περίπτωση που απέχουν κατα αλλάζει κατι; (Δεν το εχω δει)

Βασικά αν οι αποστάσεις είναι ίσες δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.

JimNt. · #10

Ναι σωστά συγνώμη...

Εγώ την έλυσα με περιπτώσεις, που αφορούν τις δυνατές τοποθετήσεις της βάσης του ισοκελούς τριγώνου και έπρεπε να απορρίψω την περίπτωση που αυτή ως βάση αμβλυγωνίου ή οξυγωνίου τριγώνου βρίσκεται στο ενδιάμεσο των δύο πλευρών (με σημεία).

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #11

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;

Ας το γενικεύσουμε για ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $n \times 2$ σημεία, όπου

άρτιος θετικός ακέραιος:

Σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν n-1

τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $3 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-2

τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $5 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-4

τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $7 \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-6

τέτοια ορθογώνια.

$\vdots$

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο $(n-1) \times 2$ σημείων έχουμε

ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν

τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά

$4 \cdot (n-1) + 2(2+4+6+ \ldots + n-2) = 4 \cdot (n-1) + 2\cdot (\dfrac{n-4}{2}+1) \cdot \dfrac{2+n-2}{2}=$ $\cdots = \dfrac{n^2+6n-8}{2}$ ισοσκελή τρίγωνα.

Υ.Γ. Αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω βήματα αρκούν, ή χρειάζεται και κάποιο άλλο είδος απόδειξης, π.χ. επαγωγή.

harrisp · #12

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $50\times 2$ σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Ας το γενικεύσουμε για ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από $n \times 2$ σημεία, όπου άρτιος θετικός ακέραιος:

Σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $3 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $5 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο $7 \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

$\vdots$

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο $(n-1) \times 2$ σημείων έχουμε ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά

$4 \cdot (n-1) + 2(2+4+6+ \ldots + n-2) = 4 \cdot (n-1) + 2\cdot (\dfrac{n-4}{2}+1) \cdot \dfrac{2+n-2}{2}=$ $\cdots = \dfrac{n^2+6n-8}{2}$ ισοσκελή τρίγωνα.

Υ.Γ. Αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω βήματα αρκούν, ή χρειάζεται και κάποιο άλλο είδος απόδειξης, π.χ. επαγωγή.

Νομίζω πως ειναι σωστό επειδη εχω ξαναδεί παρόμοιο τροπο γενίκευσης (ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ 1 του κ. Ψυχα στις σημειώσεις διαγωνισμών της ΕΜΕ)

#13

Η τελική απάντηση είναι σωστή. Ας δούμε ένα πιο σύντομο τρόπο για την περίπτωση $2n \times 2$ :

Υπάρχουν δύο ειδών ισοσκελή τρίγωνα που σχηματίζονται:

(α) Ορθογώνια ισοσκελή με τις κάθετες να έχουν μήκος 1. Υπάρχουν ακριβώς 4(2n-1)

τέτοια τρίγωνα. (

τρόποι για να επιλέξουμε αν η βάση είναι πάνω ή κάτω, 2n-1

τρόποι για να επιλέξουμε το αριστερότερο σημείο της βάσης,

τρόποι για να επιλέξουμε αν η κάθετη είναι στο αριστερό ή στο δεξί σημείο της βάσης.)

(β) Μη ορθογώνια ισοσκελή. Οι δύο κορυφές της βάσης πρέπει να έχουν άρτια απόσταση αφού η τρίτη κορυφή ανήκει στην μεσοκάθετο. Αντιστρόφως για κάθε δύο σημεία με άρτια απόσταση υπάρχει ένα τέτοιο τρίγωνο. Οπότε υπάρχουν ακριβώς $4\binom{n}{2}$ τέτοια τρίγωνα. (

τρόποι για να επιλέξουμε αν η βάση είναι πάνω ή κάτω, δύο τρόποι για να επιλέξουμε αν οι κορυφές της βάσης είναι και οι δύο άρτιες ή και οι δύο περιττές και τέλος $\binom{n}{2}$ τρόποι για να επιλέξουμε τις δύο κορυφές.)

Άρα συνολικά έχουμε

$\displaystyle{ 4\binom{n}{2} + 4(2n-1) = 2n^2+6n-4}$

τέτοια τρίγωνα. Για n=25

έχουμε

τρίγωνα.

Πλέγμα

Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Re: Πλέγμα

Μέλη σε σύνδεση