Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

[HerrGauss]

Καλησπέρα, η πρώτη μου δημοσίευση παρακάτω.

Έστω P(x) πολυώνυμο με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες. Αν ισχύει και επίσης μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο ως γινόμενο πολυωνύμων 3 βαθμού με 20 διαφορετικούς τρόπους: (α) Να βρείτε τον βαθμό του P(x). (β) Για ποιες άλλες τιμές του βαθμού του P(x) μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού ν με 20 διαφορετικούς τρόπους;

Φιλικά, Γιώργος.

[JimNt.]

Καλησπέρα, η πρώτη μου δημοσίευση παρακάτω.
Έστω P(x) πολυώνυμο με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες. Αν ισχύει και επίσης μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο ως γινόμενο πολυωνύμων 3 βαθμού με 20 διαφορετικούς τρόπους: (α) Να βρείτε τον βαθμό του P(x). (β) Για ποιες άλλες τιμές του βαθμού του P(x) μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού ν με 20 διαφορετικούς τρόπους;

Φιλικά, Γιώργος.

Πρέπει να διευκρινιστεί νομίζω τι εννοείς με την φράση "20 διαφορετικούς τρόπους".

[dement]

Καλώς ήρθες.

Νομίζω ότι πρέπει να προσδιοριστεί ότι το γινόμενο είναι διατεταγμένο, δηλαδή έχει σημασία η σειρά των παραγόντων.

[HerrGauss]

Διευκρίνηση: στην συγκεκριμένη περίπτωση το 'διαφορετικούς τρόπους' ταυτίζεται με το 'διαφορετικά πολυώνυμα'. Π.χ P τότε ένας τρόπος θα ήταν .

Επεξεργασία:
Και αυτό που είπε ο χρήστης dement.

[JimNt.]

Έστω το πλήθος των βάθμιων παραγόντων. Τότε . Έχουμε πρωτοβάθμιους παράγοντες και πρέπει . Συνεπώς, το αρχικό είναι 6ου βαθμού.

[HerrGauss]

Ή ισοδύναμα θα μπορούσε κανείς να θέσει τον βαθμό του πολυωνύμου. Τότε θα έχει να διαλέξει από παράγοντες 3 από αυτούς, δηλαδή από την οποία εύκολα βγαίνει ότι

[HerrGauss]

Νομίζω πως στο ερώτημα (β) έχεις κάνει ένα λάθος.

[JimNt.]

Νομίζω πως στο ερώτημα (β) έχεις κάνει ένα λάθος.

Η δεν ισχύει (αν αυτό εννοείς)

[HerrGauss]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

[JimNt.]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ; Επιπλέον, για κ=1 έχουμε μόνο έναν τρόπο.

[HerrGauss]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

[JimNt.]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

Τότε όμως

[HerrGauss]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

Τότε όμως

Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.

[JimNt.]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

Τότε όμως

Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.

Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο πολυωνύμων ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.

[Γιώργος Ρίζος]

Ως επιμελητής του φακέλου προτίθεμαι να μετακινήσω το θέμα σε άλλο φάκελο, γιατί δεν αντιλαμβάνομαι τι θέση έχει στο φάκελο της Γ΄ Γυμνασίου.

Παρακαλώ ενημερώστε με (όποιος συμμετέχων στη συζήτηση γνωρίζει) σε ποιο φάκελο νομίζετε ότι ταιριάζει καλύτερα να το μετακινήσω.

[HerrGauss]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

Τότε όμως

Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.

Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο πολυωνύμων ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.

Σου ζητώ συγγνώμη αν δεν γίνομαι κατανοητός. Αλλά εννοούσα ότι αν το P είχε βαθμό 20 τότε θα έχει 20 παράγοντες στην παραγοντοποίησή του. Από αυτούς τους παράγοντες διαλέγουμε 1, τότε οι υπόλοιποι θα δημιουργούν ένα πολυώνυμο βαθμού 19. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει 20 φορές οπότε 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 19 και 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 1.

[HerrGauss]

Ως επιμελητής του φακέλου προτίθεμαι να μετακινήσω το θέμα σε άλλο φάκελο, γιατί δεν αντιλαμβάνομαι τι θέση έχει στο φάκελο της Γ΄ Γυμνασίου.

Παρακαλώ ενημερώστε με (όποιος συμμετέχων στη συζήτηση γνωρίζει) σε ποιο φάκελο νομίζετε ότι ταιριάζει καλύτερα να το μετακινήσω.

Συγγνώμη για το λάθος μου, το θέμα το προόριζα για θέματα συνδυαστικής γ γυμνασίου.

[JimNt.]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

Τότε όμως

Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.

Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο πολυωνύμων ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.

Σου ζητώ συγγνώμη αν δεν γίνομαι κατανοητός. Αλλά εννοούσα ότι αν το P είχε βαθμό 20 τότε θα έχει 20 παράγοντες στην παραγοντοποίησή του. Από αυτούς τους παράγοντες διαλέγουμε 1, τότε οι υπόλοιποι θα δημιουργούν ένα πολυώνυμο βαθμού 19. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει 20 φορές οπότε 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 19 και 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 1.

Μα στην άσκηση εν λες ότι θες πολυώνυμα-παράγοντες ίσου βαθμού;

[HerrGauss]

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.

Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει ;

Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.

Τότε όμως

Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.

Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο πολυωνύμων ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.

Σου ζητώ συγγνώμη αν δεν γίνομαι κατανοητός. Αλλά εννοούσα ότι αν το P είχε βαθμό 20 τότε θα έχει 20 παράγοντες στην παραγοντοποίησή του. Από αυτούς τους παράγοντες διαλέγουμε 1, τότε οι υπόλοιποι θα δημιουργούν ένα πολυώνυμο βαθμού 19. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει 20 φορές οπότε 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 19 και 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 1.

Μα στην άσκηση εν λες ότι θες πολυώνυμα-παράγοντες ίσου βαθμού;

Έχω κάνει αρκετά λάθη στην διευκρίνηση. Συγγνώμη για την σύγχυση που σου προκάλεσα.

[JimNt.]

Νομίζω λοιπόν ότι όλες οι λύσεις που πρωτάθηκαν είναι λάθος, αφού λες ότι παίρνεις και υπόψην την διάταξη των παραγόντων...