Ελάχιστη μικρή

KARKAR · #1

: Ελάχιστη μικρή.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 1612 φορές

Στο τρίγωνο του σχήματος είναι : AB=8 , AC=15 , BC=13

. Από σημείο

, το οποίο

κινείται στη βάση

, φέρουμε παράλληλες προς τις άλλες πλευρές , σχηματίζοντας έτσι

το παραλληλόγραμμο APSQ

. Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της ( μικρής ) διαγωνίου

#2

Εύκολα βρίσκουμε $A = 60^\circ$ . Αν $AQ = k \cdot AC = 15k\,\,\,,k > 0$ θα είναι

$\dfrac{{AP}}{{AB}} = \dfrac{{SC}}{{CB}} = \dfrac{{QC}}{{CA}} = 1 - k \Rightarrow \boxed{AP = 8(1 - k)}$ .

: Ελάχιστο μικρής.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 1594 φορές

Από το τρίγωνο APQ

έχω : $f(k) = y = {(15k)^2} + {(8(1 - k))^2} - 15k \cdot 8(1 - k)$ δηλαδή

$y = f(k) = 409{k^2} - 248k + 64$ που παρουσιάζει ελάχιστο στο $\boxed{{k_0} = \frac{{124}}{{409}}}$ το

$f({k_0}) = \dfrac{{10800}}{{409}}$ και άρα $\boxed{P{Q_{\min }} = \sqrt {f({k_0})} = \dfrac{{60\sqrt {1227} }}{{409}}}$ .

KARKAR · #3

: Ελάχιστη διαγώνιος.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 1549 φορές

Ωραία ! Μπορούμε άραγε , σε τυχαίο τρίγωνο να εντοπίσουμε ( κατασκευαστικά )

τη θέση του σημείου

για την οποία προκύπτει η ελάχιστη μικρή διαγώνιος

;

#4

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη διαγώνιος.pngΩραία ! Μπορούμε άραγε , σε τυχαίο τρίγωνο να εντοπίσουμε ( κατασκευαστικά )

τη θέση του σημείου για την οποία προκύπτει η ελάχιστη μικρή διαγώνιος ;

Με όμοια διαδικασία βρίσκουμε $\boxed{AQ = kb\,\,\,\,,\,\,\,k = \frac{{{a^2} - {b^2} - 3{c^2}}}{{2({a^2} - 2({b^2} + {c^2}))}}}$

Γράφω το κύκλο $(A,R)\,\,,\,\,\boxed{R = b\frac{{{a^2} - {b^2} - 3{c^2}}}{{2({a^2} - 2({b^2} + {c^2}))}}}$ βρίσκω το

ως τομή του κύκλου

: Ελάχιστη μικρή εν γένει.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 1525 φορές

με την

και η παράλληλη από το

στην

μας ορίζει στη

το

#5

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη διαγώνιος.pngΩραία ! Μπορούμε άραγε , σε τυχαίο τρίγωνο να εντοπίσουμε ( κατασκευαστικά )

τη θέση του σημείου για την οποία προκύπτει η ελάχιστη μικρή διαγώνιος ;

Χαιρετώ τους φίλους!

: Minimum.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 1485 φορές

Φέρνω την

κάθετη στη διάμεσο

και από το

παράλληλη στην

που τέμνει τη

στο

KARKAR · #6

: Ελάχιστη διαγώνιος , τελικό.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 1469 φορές

Έως ότου ο Γιώργος δώσει την αιτιολόγηση της κατασκευής , ας το δυσκολέψουμε λίγο ακόμη :

"Δουλεύει" η ίδια κατασκευή , αν τα τμήματα SP,SQ

δεν είναι απαραίτητα παράλληλα προς τις

πλευρές , αλλά απλά σχηματίζουν ίσες γωνίες μ' αυτές τις πλευρές ( τις πράσινες του σχήματος ) ;

#7

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη διαγώνιος , τελικό.pngΈως ότου ο Γιώργος δώσει την αιτιολόγηση της κατασκευής...

Αιτιολόγηση της κατασκευής: Θα στηριχτώ στο παρακάτω Λήμμα:

Από σημείο στη βάση τριγώνου φέρνω παράλληλες προς τις που τις τέμνουν στα αντίστοιχα. Αν η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο , τότε η διέρχεται από το μέσο της

: Minimum.b.png (13.13 KiB) Προβλήθηκε 1455 φορές

Ζητώ την ελάχιστη τιμή του

, άρα λόγω του παραλληλογράμμου, την ελάχιστη τιμή του BD.

Σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα το

είναι σημείο της διαμέσου

, οπότε η ελάχιστη τιμή του

θα είναι η απόσταση του

από τη διάμεσο AM.

Απόδειξη του λήμματος: Θεώρημα Μενελάου στο QSC

με διατέμνουσα $\displaystyle{\overline {ADM} }$

$\displaystyle{\frac{{AQ}}{{AC}} \cdot \frac{{MC}}{{MS}} \cdot \frac{{DS}}{{DQ}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{BS}}{{BC}} \cdot \frac{{DS}}{{MS}} \cdot \frac{{MC}}{{DQ}} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{BP = DQ} \frac{{BS}}{{BC}} \cdot \frac{{AB}}{{BM}} \cdot \frac{{MC}}{{BP}} = 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BS}}{{BP}} \cdot \frac{{MC}}{{BM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{BP}}{{BS}} \cdot \frac{{BS}}{{BP}} \cdot \frac{{MC}}{{BM}} = 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{BM=MC}$

KARKAR · #8

Το λήμμα του Γιώργου είναι σπουδαίο και αν είναι δικής του έμπνευσης , μιλάμε
για μια σημαντική στιγμή του mathematica !

: Ελάχιστη διαγώνιος σε ορθογώνιο.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 1412 φορές

Στην αμέσως προηγούμενη ανάρτηση , αναρωτιόμουν αν μπορούμε να πετύχουμε

το ίδιο αποτέλεσμα , αν οι SP,SQ

δεν είναι παράλληλες προς τις πλευρές ,

αλλά σχηματίζουν ίσες γωνίες μ' αυτές .

Υπολογίστε λοιπόν το ελάχιστο της

στο ορθογώνιο τρίγωνο

του σχήματος και απαντήστε όχι στο τεθέν ερώτημα !

#9

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη διαγώνιος σε ορθογώνιο.pngΤο λήμμα του Γιώργου είναι σπουδαίο και αν είναι δικής του έμπνευσης , μιλάμε
για μια σημαντική στιγμή του mathematica !

εξ όσων γνωρίζω είναι δικής του έμπνευσης

#10

KARKAR έγραψε:Το λήμμα του Γιώργου είναι σπουδαίο και αν είναι δικής του έμπνευσης , μιλάμε
για μια σημαντική στιγμή του mathematica !

Πράγματι, Θανάση, το λήμμα είναι δικής μου έμπνευσης. Αρχικά παρατήρησα (με το geogebra) ότι η ελάχιστη τιμή του

επιτυγχάνεται, όταν αυτό είναι κάθετο στη διάμεσο AM.

Από εκεί και πέρα έμενε να το αποδείξω και έτσι προέκυψε(τυχαία) το λήμμα...

KARKAR έγραψε: Ελάχιστη διαγώνιος σε ορθογώνιο.pngΣτην αμέσως προηγούμενη ανάρτηση , αναρωτιόμουν αν μπορούμε να πετύχουμε

το ίδιο αποτέλεσμα , αν οι δεν είναι παράλληλες προς τις πλευρές ,

αλλά σχηματίζουν ίσες γωνίες μ' αυτές .

Υπολογίστε λοιπόν το ελάχιστο της στο ορθογώνιο τρίγωνο

του σχήματος και απαντήστε όχι στο τεθέν ερώτημα !

: Ελάχιστη μικρή.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 1357 φορές

Έστω

και

Με νόμο ημιτόνων στο QSB

έχω $\displaystyle{\frac{{SB}}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt 2 }}}$ και επειδή $\displaystyle{AS = \frac{{PS\sqrt 3 }}{2}}$

και AS+SB=b

, θα είναι $\displaystyle{PS = \frac{{2b\sqrt 3 - 3\sqrt 2 x}}{3}}$ και από νόμο συνημιτόνων στο CPQ

, $(\displaystyle{\cos {75^0} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}})$

καταλήγω στο $\displaystyle{P{Q^2} = \frac{1}{6}\left[ {6(2 + \sqrt 3 ){x^2} - 6(\sqrt 6 + \sqrt 2 )bx + 8{b^2}} \right]}$ , που ως τριώνυμο παρουσιάζει ελάχιστο για

$\displaystyle{x = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{{2(2 + \sqrt 3 )}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}}$ και είναι $\boxed{P{Q_{\min }} = \frac{{b\sqrt 3 }}{3}}$ (Εύκολα τώρα εντοπίζεται και το

)

#11

Μία κατασκευή του

.

: Ελάχιστη μικρή.b.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 1346 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ABT

, φέρνω το ύψος

που τέμνει την

στο

και έστω

το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου. Αν η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

, τότε

είναι το ζητούμενο ευθύγραμμο τμήμα.

Ελάχιστη μικρή

Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Re: Ελάχιστη μικρή

Μέλη σε σύνδεση