Κοιλότητα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα

Θα ήθελα την άποψή σας για την εξής άσκηση:

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to R}$ η οποία είναι κοίλη.
Αν $\displaystyle{\gamma \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ , να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \frac{{f(x) - f(\gamma )}}{{x - \gamma }}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα $\displaystyle{\left[ {\alpha ,\gamma } \right)}$ και $\displaystyle{\left( {\gamma ,\beta } \right]}$ .

Θωμάς

#2

Διέγραψα την απάντηση μου ως απολύτως λανθασμένη. Ευχαριστώ το Ν. Μαυρογιάννη για την επισήμανση του λάθους.

#3

Θωμά με $g\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) -f\left( \gamma \right) }{x-\gamma }$ είναι
$\displaystyle g^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left( x\right) \left( x-\gamma \right) -\left( f\left( x\right) -f\left( \gamma \right) \right) }{\left( x-\gamma \right) ^{2}}=\frac{f^{\prime }\left( x\right) \left( x-\gamma \right) -f^{\prime }\left( t\right) \left( x-\gamma \right) }{\left( x-\gamma \right) ^{2}}=\frac{f^{\prime }\left( x\right) -f^{\prime }\left( t\right) }{x-\gamma }=\frac{f^{\prime }\left( x\right) -f^{\prime }\left( t\right) }{x-t}\cdot \frac{x-t}{x-\gamma }$
όπου χρησιμοποιήθηκε το θεώρημα μέσης τιμής και το

είναι μεταξύ των $x,\gamma$ .
Από τη μονοτονία της $f^{\prime }$ ο λόγος μεταβολής $\frac{f^{\prime }\left( x\right) -f^{\prime }\left( t\right) }{x-t}$ είναι αρνητικός ενώ το κλάσμα $\frac{x-t}{x-\gamma }$ είναι θετικό.
'Αρα σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left( a,\gamma \right) ,\left( \gamma ,\beta \right)$ η

έχει αρνητική παράγωγο.
Υπάρχει κάτι άλλο που δεν βλέπω;
Μαυρογιάννης

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #4

Νίκο μου καλησπέρα.
Εσύ μια χαρά τα βλέπεις εγώ κόλλησα λίγο.
Ευχαριστώ,
Θωμάς

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

Καλησπέρα.
Τώρα που έχω χρόνο ας πω δυο κουβέντες παραπάνω, στο που είχα κολλήσει.

Στη συγκεκριμένη άσκηση είχα δουλέψει ως εξής:

Πήρα $\displaystyle{a < {x_1} < \gamma < {x_2} < \beta }$ και κάνοντας 2 Θ.Μ.Τ στα διαστήματα $\displaystyle{[{x_1},\gamma ]}$ και $\displaystyle{[\gamma ,{x_2}]}$ και χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της $\displaystyle{{f'}}$ είχα δείξει ότι η συνάρτηση g ήταν γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[\alpha ,\gamma ) \cup (\gamma ,\beta ]}$ αλλά δεν μπορούσα να δείξω ότι ήταν γνήσια φθίνουσα σε κάθε υποδιάστημα ξεχωριστά (που βέβαια θα έπρεπε μιας και είναι αναγκαίο).
Βέβαια μπορούσα να πάω με την εις άτοπο απαγωγή και να δείξω ότι τελικά ήταν γνήσια φθίνουσα και στα υποδιαστήματα αλλά ήθελα να δω έναν τρόπο που θα αποδείκνυε το ζητούμενο άμεσα.
Ο Νίκος βέβαια με την λύση του μου έλυσε το πρόβλημα.

Νίκο νομίζω ότι τελικά οι δυο σκέψεις δίνουν ένα πολύ ωραίο θέμα για τους μαθητές μας.
Τελικά είναι η g γνήσια φθίνουσα και κατά διαστήματα και γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[\alpha ,\gamma ) \cup (\gamma ,\beta ]}$ .

Ευχαριστώ και πάλι για τη βοήθεια.

Θωμάς

Υ.Γ Είναι η άσκηση 36 στη κυρτότητα από το καινούργιο βιβλίο του Α.Μπάρλα

#6

Πράγματι Θωμά η άσκηση έχει κάποιο ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Μπορούμε να ορίσουμε την

σε όλο το διάστημα $\left[ \alpha ,\beta \right]$ ως εξής:
$\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{f\left( x \right) - f\left( \gamma \right)}}{{x - \gamma }}} & {x \in \left[ {a,\gamma } \right) \cup \left( {\gamma ,\beta } \right]} \\ {f'\left( \gamma \right)} & {x = \gamma } \\ \end{array}} \right.}$
και να ζητήσουμε να αποδειχθεί ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα (οι υποθέσεις για την

οι ίδιες). Το ενδιαφέρον είναι ότι η εξέταση της μονοτονίας της

στα επιμέρους διαστήματα είναι μονόδρομος διότι η

είναι μεν συνεχής στο $\gamma$ αλλά όχι κατ΄ανάγκην παραγωγίσιμη σε αυτό (λ.χ. όταν $f\left( x\right) =x\left| x\right| ,\,\ \ \alpha =-1,\,\ \ \beta =1,\,\ \ \gamma =0$ ).
Μαυρογιάννης

#7

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλησπέρα.
Τώρα που έχω χρόνο ας πω δυο κουβέντες παραπάνω, στο που είχα κολλήσει.

Στη συγκεκριμένη άσκηση είχα δουλέψει ως εξής:

Πήρα $\displaystyle{a < {x_1} < \gamma < {x_2} < \beta }$ και κάνοντας 2 Θ.Μ.Τ στα διαστήματα $\displaystyle{[{x_1},\gamma ]}$ και $\displaystyle{[\gamma ,{x_2}]}$ και χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της $\displaystyle{{f'}}$ είχα δείξει ότι η συνάρτηση g ήταν γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[\alpha ,\gamma ) \cup (\gamma ,\beta ]}$ αλλά δεν μπορούσα να δείξω ότι ήταν γνήσια φθίνουσα σε κάθε υποδιάστημα ξεχωριστά.
Βέβαια μπορούσα να πάω με την εις άτοπο απαγωγή και να δείξω ότι τελικά ήταν γνήσια φθίνουσα και στα υποδιαστήματα αλλά ήθελα να δω έναν τρόπο που θα αποδείκνυε το ζητούμενο άμεσα.
Ο Νίκος βέβαια με την λύση του μου έλυσε το πρόβλημα.

Νίκο νομίζω ότι τελικά οι δυο σκέψεις δίνουν ένα πολύ ωραίο θέμα για τους μαθητές μας.
Τελικά είναι η g γνήσια φθίνουσα και κατά διαστήματα και γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[\alpha ,\gamma ) \cup (\gamma ,\beta ]}$ .

Ευχαριστώ και πάλι για τη βοήθεια.

Θωμάς

Υ.Γ Είναι η άσκηση 36 στη κυρτότητα από το καινούργιο βιβλίο του Α.Μπάρλα

Θωμά,
δες και την αντιμετώπιση στην λυμένη άσκηση 4.3, σελίδα 149.
Σίγουρα είναι άσκηση που έχει ενδιαφέρον και ειδικά αν τεθεί στη μορφή που την έδωσε ο Νίκος , ή με τη μορφή του ερωτήματος γ) στην αναφορά.Στο ίδιο μήκος κύματος είναι και η 4.109.

Μπάμπης

#8

Στην προηγούμενη ενασχόληση μου με την άσκηση, έβαλα όπου γ το χ κι έγινε ζημιά.Νόμισα πως ανακάλυψα την ...Αμερική!
Όμως μου γεννήθηκε μια απορία, καθαρά απο λογικής σκοπιάς.
Το συζήτησα με το Νίκο κατ'ίδίαν μου είπε την άποψη του, αλλά θέλω να το πω και στον..αέρα.
Λέμε πως χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της f'.
Eδώ έχω μιαν ένσταση, όσον αφορά την εκφώνηση.
Λέμε πως (χρησιμοποιώ το σχολικό και τον ορισμό του) αν η f' είναι γνησίως αύξουσα(φθίνουσα) τότε η f είναι κυρτή(κοίλη).
Το αντίστροφο ισχύει;
Δηλαδή αν η f είναι κυρτή(κοίλη) τότε η f' είναι ΓΝΗΣΙΑ αύξουσα(φθίνουσα); (η άσκηση δίνει ως δεδομένο το ''κοίλη'').
Νομίζω πως οχι(ο ορισμός δε λέει κάτι για το αντίστροφο,αν και μόνο αν δηλαδή). Είμαστε όμως σίγουροι πως η f' (απο τη στιγμή που υπάρχει φυσικά) είναι αύξουσα(φθίνουσα).
Συνεπώς κατ'εμέ η άσκηση είναι ή ελλιπής δεδομένων (θα μπορούσε να λέει f''(x)<0) ή θα έπρεπε να λέει ''δείξτε πως η g είναι αύξουσα'', κατά τις επιταγές της μαθηματικής λογικής.
Αυτά για να γίνει κουβέντα, μιας και όλο αυτό προέκυψε απο το θολωμένο μου...μυαλό!

#9

chris_gatos έγραψε:Στην προηγούμενη ενασχόληση μου με την άσκηση, έβαλα όπου γ το χ κι έγινε ζημιά.Νόμισα πως ανακάλυψα την ...Αμερική!
Όμως μου γεννήθηκε μια απορία, καθαρά απο λογικής σκοπιάς.
Το συζήτησα με το Νίκο κατ'ίδίαν μου είπε την άποψη του, αλλά θέλω να το πω και στον..αέρα.
Λέμε πως χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της f'.
Eδώ έχω μιαν ένσταση, όσον αφορά την εκφώνηση.
Λέμε πως (χρησιμοποιώ το σχολικό και τον ορισμό του) αν η f' είναι γνησίως αύξουσα(φθίνουσα) τότε η f είναι κυρτή(κοίλη).
Το αντίστροφο ισχύει;
Δηλαδή αν η f είναι κυρτή(κοίλη) τότε η f' είναι ΓΝΗΣΙΑ αύξουσα(φθίνουσα).
Νομίζω πως οχι(ο ορισμός δε λέει κάτι για το αντίστροφο,αν και μόνο αν δηλαδή). Είμαστε όμως σίγουροι πως η f' (απο τη στιγμή που υπάρχει φυσικά) είναι αύξουσα(φθίνουσα).
Συνεπώς κατ'εμέ η άσκηση είναι ή ελλιπής δεδομένων (θα μπορούσε να λέει f''(x)<0) ή θα έπρεπε να λέει ''δείξτε πως η g είναι αύξουσα'', κατά τις επιταγές της μαθηματικής λογικής.
Αυτά για να γίνει κουβέντα, μιας και όλο αυτό προέκυψε απο το θολωμένο μου...μυαλό!

Χρήστο, δεν μπορεί να είναι ορισμός και να μην είναι ισοδύμαμη(εξ ορισμου) πρόταση.Είναι σαν να λέμε ότι :

'' ένα τρίγωνο λεγεται ισοσκελές, αν έχει δυο πλευρές ίσες''

και εμείς να βάζουμε μετά το ερώτημα :

'' αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, έχει υποχρεωτικά δύο πλευρές ίσες ;''.

Πρόκειται για μια ατυχή μορφή διατύπωσης ορισμών. Θα έπρεπε σε όλους τους ορισμούς να αναγράφουμε το '' ......, αν και μόνο αν '' . Τα έχουμε κουβεντιάσει και παλιότερα αυτά , αλλά τα εξήγησε θαυμάσια σε μεγάλο ακροατήριο και ο Αντώνης στη Θεσσαλονίκη.

Μπάμπης

#10

Εγω απλά το θίγω έχοντας στο μυαλό μου τον ορισμό του σχολικού. Και τα παιδιά αυτόν έχουν. Ερώτηση :
Υπάρχει ποτέ περίπτωση να ζητηθεί με τόν ήδη υπαρχοντα ορισμό κάτι τέτοιο απο τα παιδιά; Νομίζω πως οχι.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #11

Να σιγοντάρω λίγο τον Χρήστο, ρωτώντας.
Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left| x \right|}$ είναι κυρτή; Αν είναι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1. Οπότε ο ορισμός του σχολικού βιβλίου;;;;
Θωμάς

#12

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Να σιγοντάρω λίγο τον Χρήστο, ρωτώντας.
Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left| x \right|}$ είναι κυρτή; Αν είναι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1. Οπότε ο ορισμός του σχολικού βιβλίου;;;;
Θωμάς

Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, η συνάρτηση αυτή δεν είναι κυρτή.

Τώρα, το αν μπορεί να τεθεί τέτοιο ερώτημα στις εξετάσεις, είναι άλλο ζήτημα.

Μπάμπης

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #13

Καλημέρα Μπάμπη, καλημέρα σε όλους

Α! Σε σχολικό επίπεδο (αφορά μαθητές υποψήφιους και προπαρασκευαστές).

- Να συμφωνήσω απόλυτα ότι ο ορισμός του σχολικού βιβλίου είναι ο ορισμός για τον υποψήφιο.
- Να διαφωνήσω απόλυτα (σε σχολικό επίπεδο πάντα) ότι ο ορισμός είναι ισοδυναμία (ας θυμηθούμε το πως δίνεται ο ορισμός της γνήσιας μονότονης συνάρτησης). Όλοι ξέρουμε ότι θα υπάρξουν εξεταστές που θα απαιτήσουν απόδειξη του αντίστροφου).

Β! (μη σχολικό επίπεδο)
Είναι γνωστό ότι μια κυρτή συνάρτηση μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του Π.Ο της, άρα όταν μας λένε ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή δεν σημαίνει κατ΄ανάγκη ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Χο του Π.Ο της και εδώ ήταν η ένσταση του Χρήστου (σε σχέση με την άσκηση) και εδώ υπάρχει πρόβλημα στον ορισμό του σχολικού βιβλίου αφού δεν υπάρχει ισοδυναμία.

Γ!
Παλιά λέγαμε "ισοδύναμα από τον ορισμό έχουμε". Τώρα μπορούμε να το πούμε;
Βέβαια είναι απορίας άξιον πως έχουν αφήσει να περάσουν στα σχολικά βιβλία αυτά τα προβλήματα.
Το πιθανότερο είναι να γνωρίζουμε οι περισσότεροι το γιατί.
Αλλά ας μην ρίξουμε λάδι στη φωτιά.

Επ' ευκαιρία που εχθές γιόρταζαν οι Αντώνηδες, ας στείλω τα χρόνια πολλά και σε έναν πολύ καλό μου φίλο που γιόρταζε εχθές, τον Αντώνη τον Δούναβη, που αν διαβάσει το μήνυμά μου θα γελάσει.
Να είστε καλά,
Θωμάς

#14

Συνηθεις

Ορισμοί

Έστω

ένα διάστημα των πραγματικών και $f:I\to\mathbb{R}$ μια συνάρτηση.

1) Η

είναι κυρτή ανν $f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ για κάθε $x,y\in I$ και $0\leq\lambda\leq1$ (αντίστοιχα κοίλη) και

2) Η

είναι γνήσια κυρτή ανν $f(\lambda x+(1-\lambda)y)< \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ για κάθε $x,y\in I$ και $0\leq\lambda\leq1$ (αντίστοιχα γνήσια κοίλη)

Επειδή το σχολικό μιλάει για διαφορίσιμες στο εσωτερικό διαστήματος συναρτήσεις, ισχύει η εξής :

Πρόταση

Έστω $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε

1) Η

είναι κυρτή $\Leftrightarrow$ η f{'}

είναι αύξουσα (αντ. κοίλη)

2) Η

είναι γνήσια κυρτή $\Leftrightarrow$ η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα (αντ. γνήσια κοίλη)

Δεν ισχυρίζομαι ότι με αυτά που έγραψα θριάμβευσε η επιστήμη, απλά τα γράφω για να είναι μαζεμένα.

Και θέλω να καταλήξω στο εξής: επειδή η σύνδεση μεταξή ορισμού και διαισθητικής εικόνας που επιθυμεί να επιτύχει το βιβλίο αφορά μάλλον τις γνησίως κυρτές - κοίλες συναρτήσεις, ο ορισμός του είναι ως έχει.

Θα μπορόυσε βέβαια να προσέθετε τη λήξη "γνησίως" αλλά το εύλογο ερώτημα που θα προέκυπτε σε αυτήν την περίπτωση θα ήταν : και πότε είναι σκέτο κυρτή (κοίλη);

Εν πάσει περιπτώσει στον ορισμό του σχολικού, είτε θα έπρεπε να λείπει εντελώς η λέξη "γνησίως", ή να υπάρχει εκατέρωθεν του "αν"...

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #15

Αναστάση καλημέρα.

Γνωρίζω το εξής θεώρημα
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε αποδεικνύονται τα ακόλουθα:

- Αν η f είναι κυρτή στο Δ τότε η $\displaystyle{f'}$ είναι αύξουσα στο Δ
- Αν η f είναι αυστηρώς κυρτή στο Δ τότε η $\displaystyle{f'}$ είναι γνήσια αύξουσα στο Δ.
Αντίστοιχα για τη κοίλη.

Ισχύουν σε κάθε περίπτωση και τα αντίστροφα;
Θωμάς

#16

Η Απόδειξη της πρότασης όπως την διατυπώνω παραπάνω υπάρχει στην κίτρινη βίβλο τόμος ΙΙα σελ 51-52.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #17

Ευχαριστώ, δεν το γνώριζα.
Να είσαι καλά
Θ.Ρ

Α.Κυριακόπουλος · #18

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Α! Σε σχολικό επίπεδο (αφορά μαθητές υποψήφιους και προπαρασκευαστές).
- Να συμφωνήσω απόλυτα ότι ο ορισμός του σχολικού βιβλίου είναι ο ορισμός για τον υποψήφιο.
- Να διαφωνήσω απόλυτα (σε σχολικό επίπεδο πάντα) ότι ο ορισμός είναι ισοδυναμία (ας θυμηθούμε το πως δίνεται ο ορισμός της γνήσιας μονότονης συνάρτησης). Όλοι ξέρουμε ότι θα υπάρξουν εξεταστές που θα απαιτήσουν απόδειξη του αντίστροφου).
Θωμάς

Αγαπητέ Θωμά.
• Η έννοια του ορισμού στα μαθηματικά είναι μια. Σε σχολικό και μη σχολικό επίπεδο.
• Τι εννοείς ακριβώς όταν λες: «( ας θυμηθούμε το πως δίνετε ο ορισμός της γνήσιας μονότονης συνάρτησης ). Όλοι ξέρουμε ότι θα υπάρξουν εξεταστές που θα απαιτήσουν αποδείξει του αντίστροφου». Μπορείς σε παρακαλώ να το αναλύσεις αυτό περισσότερο;
Φιλικά.

#19

Γειά σας και καλή εβδομάδα. Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες.
Διάβασα τα προηγούμενα και αδυνατώ να καταλάβω ποιό είναι το πρόβλημα. Σε κάθε ορισμό δίνουμε ένα όνομα για κάποια μαθηματικά αντικείμενα που έχουν μία συγκεκριμένη ιδιότητα. 'Οσα έχουν την ιδιότητα φέρουν το όνομα και όσα φέρουν αυτό το όνομα έχουν την ιδιότητα. Αυτό εννοείται και δεν είναι απαραίτητο να επαναλαμβάνεται, είναι εγγενές χαρακτηριστικό του τρόπου που μιλάμε Μαθηματικά. Ούτε χρειάζεται να λέμε "αν και μόνο αν". Καλά κάνει το σχολικό βιβλίο και δεν το αναφέρει. Μπορεί τα βιβλία να έχουν άλλες αδυναμίες αλλά όχι αυτή.
Απο κει και πέρα αν συμφωνήσουμε με αυτό, και καήκαμε αν δεν συμφωνήσουμε, μπορούμε να διαφωνήσουμε μπορούμε να συζητήσουμε αν κάποιος ορισμός είναι ο ενδεδειγμένος. Αυτό είναι μία άλλη κουβέντα. Μιας όμως και το θέμα έχει ανέβει στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης ο ορισμός, μας αρέσει ή όχι, είναι αυτός του σχολικού βιβλίου σελίδα 273 που λέει ότι από τις συνεχείς συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που είναι παραγωγίσιμες στα εσωτερικά του σημεία δικαιούνται να φέρουν το όνομα κυρτή εκείνες που η ήδη υπάρχουσα παράγωγος στο εσωτερικό είναι και γνησίως αύξουσα.. Η επιλογή λοιπόν των συγγραφέων, επιτυχής ή ατυχής αυτό στην κουβέντα μας είναι αδιάφορο, είναι να αναφέρονται σε συναρτήσεις
-ορισμένες σε διάστημα
-συνεχείς σε αυτό
-παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του
-με γνησίως αύξουσα παράγωγο στο εσωτερικό
'Οποια συνάρτηση έχει τις παραπάνω προδιαγραφές είναι κυρτή και όποια είναι κυρτή τις έχει.
Για πιο γενικούς ορισμούς (που και βέβαια υπάρχουν) ο φυσικός χώρος συζήτησης στο mathematica είναι η
-Ανάλυση των ΑΕΙ ή
-Ο Φάκελος του καθηγητή.
Η παράθεση τους εδώ, ως εάν να είναι εναλλακτικές επιλογές που στο χέρι μας είναι σε ποια θα καταλήξομε, φοβάμαι ότι μπορεί να προκαλέσει σύγχιση (σε μαθητές ή όχι πολύ πεπειραμένους συναδέλφους).
Μαυρογιάννης

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #20

Αναστάση να είσαι καλά. Με έκανες να ξεσκονήσω λίγο τα βιβλία.
(έχουν περάσει και τόσα χρόνια από τότε!)
Όντως στις σελίδες 258-259 της πραγματικής ανάλυσης Ι του Παναγιώτη Τσεκρέκου, αναφέρεται στη κυρτότητα παραγωγισίμων συναρτήσεων και αποδεικνύει τα θεωρήματα αυτά.
Θ.Ρ

Κοιλότητα

Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Re: Κοιλότητα

Μέλη σε σύνδεση