Αντιστροφη συνάρτηση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \ln \left( {\sqrt {1 + x^2 } - x} \right) }$ . Να βρεθεί η $\displaystyle{ f^{ - 1} }$ και να λυθει η εξίσωση $\displaystyle{ f(x) = f^{ - 1} (x) }$ .

Σχόλιο.Επειδη η f είναι γνησιως φθίνουσα στο R αυτό δεν με κάνει ευτυχισμενο

αν f γνησιως αυξουσα θα λέγαμε $\displaystyle{ f(x) = f^{ - 1} (x) \Leftrightarrow f(x) = x }$
Από την αλλη υπάρχει καποιο τρικ για την επίλυση του συστήματος που προκύπτει από την $\displaystyle{ f(x) = f^{ - 1} (x) }$ ;; Η χ=0 είναι μια λύση.

k-ser · #2

Στράτο, καλό θέμα.

Μια σύντομη απάντηση - υπόδειξη:

Είναι $\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}, \ \ x\in \mathbb{R}$
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f, f^{-1}$ έχουν κοινό σημείο το (0,0)

στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία y=-x

.
Οι συναρτήσεις $f, f^{-1}$ έχουν αντίθετη κοιλότητα στα διαστήματα $(-\infty, 0]$ και $[0,+\infty)$ .
Έτσι, $\forall x<0: \ \ \ f(x)<-x<f^{-1}(x)$ , $\forall x>0: \ \ \ f(x)>-x>f^{-1}(x)$ .
Άρα $\forall x \ne 0 \ \ \ f(x)\ne f^{-1}(x)$ .

Η μοναδική λύση της εξίσωσης $f(x)=f^{-1}(x)$ είναι το 0.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Κώστα, πολύ εύστοχη η υπόδειξη σου με την κοιλότητα-εφαπτομένη.

Ευχαριστώ!!

parmenides51 · #4

επειδή μου άρεσε σαν ερώτημα, θα με ενδιέφερε κάποια άλλη αντιμετώπιση που να μην περιλαμβάνει κοιλότητα κι εφαπτομένη

mathxl · #5

Εάν ορίσουμε την διαφορά $\displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right),x \in R}$ τὀτε για την παράγωγο $\displaystyle{h'\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}$ έχουμε
$\displaystyle{h'\left( 0 \right) = 0}$ και για $\displaystyle{x \ne 0}$ είναι :
$\displaystyle{\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} > 1 \Leftrightarrow {\left( {{e^x} - 1} \right)^2} > 0}$ και
$\displaystyle{{x^2} > 0 \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} < 1 \Rightarrow - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} > - 1}$ οπότε
$\displaystyle{h'\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} > 1 - 1 = 0}$ Συνεπώς $\displaystyle{h'\left( x \right) \ge 0}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο στο μηδέν άρα η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως αύξουσα και η προφανής της ρίζα μοναδική

dennys · #6

Xρόνια πολλά σε ολους

Εχω δώσει παλιά απόδειξη ότι αν, $f{'}(x)\neq -1$ ,τότε οι συνάρτηση f(x)

, με την αντίστροφη της έχουν κοινό σημείο μόνο πάνω στην y=x

Ετσι επειδή $f{'}(x)=\cfrac{-1}{\sqrt{x^2 +1}}\neq -1 ,x\neq 0$ αρα μόνο κοινο είναι για x=0

.

dennys

Αντιστροφη συνάρτηση

Αντιστροφη συνάρτηση

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Re: Αντιστροφη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση