Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

#1

Για τις συνεχείς στο συναρτήσεις ισχύουν τα εξής :

$\bullet$ η είναι κυρτή και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell$

$\bullet$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m<\ell$ και η ${{C}_{g}}$ έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y=kx+n,k,n\in R$ με

Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο

Στάθης

kostas232 · #2

Μια ερώτηση.

Μήπως πρέπει να προστεθεί κάποια παραγωγισιμότητα;

#3

kostas232 έγραψε:Μια ερώτηση.

Μήπως πρέπει να προστεθεί κάποια παραγωγισιμότητα;

Κώστα καλησπέρα.

Η παραγωγισιμότητα της

που πράγματι χρειάζεται υπονοείται από την κυρτότητά της (βάσει ορισμού του σχολικού βιβλίου). Η παραγωγισιμότητα της

δεν νομίζω ότι είναι απαραίτητη. Πιθανόν να κάνω και λάθος. Γράψε όμως το σκεπτικό σου (έστω αποδεχόμενος και την παραγωγισιμότης και των δύο συναρτήσεων) να δούμε την αναγκαιότητά τους (και των δύο εννοώ αφού είπαμε για την πρώτη χρειάζεται) και να δούμε πως μπορούμε να την "προσπεράσουμε"

Φιλικότατα
Στάθης

kostas232 · #4

Έχω μερικές σκέψεις...
Θα τις αναρτήσω σύντομα.

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Για τις συνεχείς στο συναρτήσεις ισχύουν τα εξής :

$\bullet$ η είναι κυρτή και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell$

$\bullet$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m<\ell$ και η ${{C}_{g}}$ έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y=kx+n,k,n\in R$ με

Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο

Στάθης

...Καλησπέρα σου Σταθη, και σε όλη την παρέα...

Αν υποθέσουμε ότι $f\left( x \right)\ne g(x)$ για κάθε $x\in R$ τότε η $h(x)=f\left( x \right)-g(x)\ne 0$

και επειδή θα είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο δηλαδή h(x)>0

ή

Αν

τότε από $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=-\infty$

αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right))=\ell$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(g\left( x \right))=+\infty$

αφού έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y=kx+n,k,n\in R$ με k>0

προκύπτει άτοπο.

Αν h(x)<0

τότε όπως δείξαμε εδώ viewtopic.php?f=53&t=57279

η

είναι γνήσια φθίνουσα άρα $f(R)=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(\ell ,\,\,L)$

με $L\in R\cup (-\infty ,\,\,+\infty )$ και από $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=L-m>0$

αφού $L>\ell >m$ που είναι πάλι άτοπο. Άρα υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ ώστε $h({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=g({{x}_{0}})$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#6

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Για τις συνεχείς στο συναρτήσεις ισχύουν τα εξής :

$\bullet$ η είναι κυρτή και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell$

$\bullet$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m<\ell$ και η ${{C}_{g}}$ έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y=kx+n,k,n\in R$ με

Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο

Στάθης
...Καλησπέρα σου Σταθη, και σε όλη την παρέα...

Αν υποθέσουμε ότι $f\left( x \right)\ne g(x)$ για κάθε $x\in R$ τότε η $h(x)=f\left( x \right)-g(x)\ne 0$

και επειδή θα είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο δηλαδή ή

Αν τότε από $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=-\infty$

αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right))=\ell$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(g\left( x \right))=+\infty$

αφού έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y=kx+n,k,n\in R$ με προκύπτει άτοπο.

Αν τότε όπως δείξαμε εδώ viewtopic.php?f=53&t=57279

η είναι γνήσια φθίνουσα άρα $f(R)=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(\ell ,\,\,L)$

με $L\in R\cup (-\infty ,\,\,+\infty )$ και από $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-g(x))=L-m>0$

αφού $L>\ell >m$ που είναι πάλι άτοπο. Άρα υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ ώστε $h({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=g({{x}_{0}})$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Re: Υποχρεωτική τομή γραφικών παραστάσεων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Μέλη σε σύνδεση