Αρχιμήδης 2016-2017

Γιάννης Μπόρμπας · #81

Εκτέλεσα πράξεις και δεν έφτασα στην ίδια ανισότητα...
Σε αυτήν που έφτασα βγαίνει πάλι με 2 AM-GM

.

Γιάννης Μπόρμπας · #82

Ξαναέκανα τις πράξεις και είχα κάνει λάθος.

knm2608 · #83

Πάντως με

υπάρχει πολύ ωραία λύση και κυρίως αποφεύγεις τις πολλές και βαρετές πράξεις.

JimNt. · #84

knm2608 έγραψε:Πάντως με υπάρχει πολύ ωραία λύση και κυρίως αποφεύγεις τις πολλές και βαρετές πράξεις.

Μπορείς να την βάλεις αν θες.

Γιάννης Μπόρμπας · #85

JimNt. έγραψε:
knm2608 έγραψε:Πάντως με υπάρχει πολύ ωραία λύση και κυρίως αποφεύγεις τις πολλές και βαρετές πράξεις.
Μπορείς να την βάλεις αν θες.

Εγώ θα έλεγα να μείνει για άλλες 2 μέρες.

knm2608 · #86

Καλύτερα όπως λέει και ο Γιάννης να την αφήσουμε για ακόμα λίγο καιρό.

Γιάννης Μπόρμπας · #87

knm2608 έγραψε:Άσκηση 25 Seniors
Αν θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq1$

Αρχικά παρατηρούμε ότι η δοθείσα σχέση δεν βολεύει αρκετά. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία ισοδύναμη σχέση
που πρέπει να αποδειχθεί, η οποία θα αποδεικνύεται με C-S

.
Όμως: $\displaystyle{\sum_{cyc}\frac{a^2\sum_{cyc}(a^2+ab)}{(a^2+ab+b^2)}=\sum_{cyc}a^2+\frac{a^2c(a+b+c)}{a^2+ab+b^2}=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)\sum_{cyc}\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}$ $\displaystyle{\ge a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(\frac{(ab+bc+ca)^2}{3abc+\sum_{sym}a^2b})=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$ .
Οπότε δείξαμε ότι $\displaystyle{\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1}$ που είναι το ζητούμενο.

knm2608 · #88

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
knm2608 έγραψε:Άσκηση 25 Seniors
Αν θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq1$
Αρχικά παρατηρούμε ότι η δοθείσα σχέση δεν βολεύει αρκετά. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία ισοδύναμη σχέση
που πρέπει να αποδειχθεί, η οποία θα αποδεικνύεται με .
Όμως: $\displaystyle{\sum_{cyc}\frac{a^2\sum_{cyc}(a^2+ab)}{(a^2+ab+b^2)}=\sum_{cyc}a^2+\frac{a^2c(a+b+c)}{a^2+ab+b^2}=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)\sum_{cyc}\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}$ $\displaystyle{\ge a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(\frac{(ab+bc+ca)^2}{3abc+\sum_{sym}a^2b})=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$ .
Οπότε δείξαμε ότι $\displaystyle{\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1}$ που είναι το ζητούμενο.

Πολύ ωραία Γιάννη, ακριβώς αυτό είχα και εγώ στο μυαλό μου.

Friedoon · #89

Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26 Seniors
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27 Seniors
Αν a_0=1

και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$

harrisp · #90

Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$

Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;

Friedoon · #91

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;

Αυτό το Σάββατο ήταν το τελευταίο μάθημα από τη σειρά μαθημάτων που είχε αρχίσει από τον Οκτώβρη τα οποία βασίζονταν στην ύλη του Αρχιμήδη. Είπαν όμως πως μπορεί να γίνουν μαθήματα και μετά τον Αρχιμήδη.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #92

Friedoon έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;
Αυτό το Σάββατο ήταν το τελευταίο μάθημα από τη σειρά μαθημάτων που είχε αρχίσει από τον Οκτώβρη τα οποία βασίζονταν στην ύλη του Αρχιμήδη. Είπαν όμως πως μπορεί να γίνουν μαθήματα και μετά τον Αρχιμήδη.

Πέρσι νομίζω δεν γινόταν κάτι τέτοιο...

harrisp · #93

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Friedoon έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;
Αυτό το Σάββατο ήταν το τελευταίο μάθημα από τη σειρά μαθημάτων που είχε αρχίσει από τον Οκτώβρη τα οποία βασίζονταν στην ύλη του Αρχιμήδη. Είπαν όμως πως μπορεί να γίνουν μαθήματα και μετά τον Αρχιμήδη.
Πέρσι νομίζω δεν γινόταν κάτι τέτοιο...

Ναι πράγματι γι αυτο παραξενεύτηκα.

Friedoon · #94

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Friedoon έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;
Αυτό το Σάββατο ήταν το τελευταίο μάθημα από τη σειρά μαθημάτων που είχε αρχίσει από τον Οκτώβρη τα οποία βασίζονταν στην ύλη του Αρχιμήδη. Είπαν όμως πως μπορεί να γίνουν μαθήματα και μετά τον Αρχιμήδη.
Πέρσι νομίζω δεν γινόταν κάτι τέτοιο...

Τα μαθήματα στα οποία αναφέρομαι γίνονται εδώ και χρόνια στο κτίριο της ΕΜΕ στην Πανεπιστημίου.

harrisp · #95

Friedoon έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Friedoon έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;
Αυτό το Σάββατο ήταν το τελευταίο μάθημα από τη σειρά μαθημάτων που είχε αρχίσει από τον Οκτώβρη τα οποία βασίζονταν στην ύλη του Αρχιμήδη. Είπαν όμως πως μπορεί να γίνουν μαθήματα και μετά τον Αρχιμήδη.
Πέρσι νομίζω δεν γινόταν κάτι τέτοιο...
Τα μαθήματα στα οποία αναφέρομαι γίνονται εδώ και χρόνια στο κτίριο της ΕΜΕ στην Πανεπιστημίου.

Εννοώ οτι σταματούσαν μετα τον Ευκλειδη.

Οι ασκησεις ειναι Seniors αν δεν κανω λαθος.

Μήπως εχει κανείς των Juniors;

knm2608 · #96

Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26 Seniors
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27 Seniors
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$

Η 26 είναι είτε πολύ εύκολη είτε κάπου έχω κάνει λάθος

Ισοδύναμα έχουμε: $RHS=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+...+\frac{1}{(x+4033)(x+4034)}\geq \frac{2017^2}{(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)+...+(x+4033)(x+4034)}=\frac{2017^2}{2017x^2+2017*4035x+ 2017*4034}=\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}$ , όπως θέλαμε.

Τσιαλας Νικολαος · #97

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Friedoon έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Καλησπερα!

Γίνονται μαθήματα στην ΕΜΕ για τον Αρχιμηδη;
Αυτό το Σάββατο ήταν το τελευταίο μάθημα από τη σειρά μαθημάτων που είχε αρχίσει από τον Οκτώβρη τα οποία βασίζονταν στην ύλη του Αρχιμήδη. Είπαν όμως πως μπορεί να γίνουν μαθήματα και μετά τον Αρχιμήδη.
Πέρσι νομίζω δεν γινόταν κάτι τέτοιο...
Ναι πράγματι γι αυτο παραξενεύτηκα.

Δυστυχώς αυτά τα μαθήματα γινόντουσταν πάντα και "ευνοόυν" τα παιδιά που βρίσκονται Αθήνα. Θα έπρεπε τουλάχιστον οι ασκήσεις και οι λύσεις τους να ανεβαίνουν στο site...

Friedoon · #98

knm2608 έγραψε:
Friedoon έγραψε:Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η)

Άσκηση 26 Seniors
Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό:
$\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\le \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+...+\frac{1}{x+4033}-\frac{1}{x+4034}$

Άσκηση 27 Seniors
Αν και $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ , $n \ge 0$
Να αποδειχθεί ότι $a_{2017} >89$
Η 26 είναι είτε πολύ εύκολη είτε κάπου έχω κάνει λάθος
Ισοδύναμα έχουμε: $RHS=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+...+\frac{1}{(x+4033)(x+4034)}\geq \frac{2017^2}{(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)+...+(x+4033)(x+4034)}=\frac{2017^2}{2017x^2+2017*4035x+ 2017*4034}=\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}$ , όπως θέλαμε.

Σωστή μου φαίνεται η λύση σου

.Έγω το έλυσα επαγωγικά ως εξής:
Ισοδύναμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\frac{n}{(x+1)(x+2n)}\le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(x+2k-1)(x+2k)}$
Για n=1

προφανώς ισχύει.Έστω πως ισχύει και για n=m

θα αποδείξουμε πως ισχύει και για n=m+1

Για

το αριστερό μέλος θα αυξηθεί κατά:
$\frac{m+1}{(x+1)(x+2m+2)}-\frac{m}{(x+1)(x+2m)}=\frac{x}{(x+1)(x+2m)(x+2m+2)}$
Ενώ το δεξί θα αυξηθεί κατά:
$\frac{1}{(x+2m+1)(x+2m+2)}$
Όμως $\frac{1}{(x+2m+1)(x+2m+2)}-\frac{x}{(x+1)(x+2m)(x+2m+2)}=$
$\frac{1}{x+2m+2}*\frac{x^2+2mx+x+2m-x^2-2mx-x}{(x+1)(x+2m)(x+2m+1)}=\frac{1}{x+2m+2}*\frac{2m}{(x+1)(x+2m)(x+2m+1)}>0$
Άρα η ανισότητα θα ισχύει και για n=m+1

Γιάννης Μπόρμπας · #99

Άσκηση 28 Juniors
Έστω

θετικός ακέραιος. Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, θα ονομάζουμε "Τέλεια" τα σημεία A(x,y)

για τα οποία ισχύει ότι:

Έχουν μη αρνητικές ακέραιες συντεταγμένες.
$2) 2n\ge x,y\ge 0$ .
3) xy(2n-x)(2n-y)=0

.
Στην συνέχεια, ένα ευθύγραμμο τμήμα θα ονομάζεται "Καθαρό" αν:

Τα άκρα του είναι "Τέλεια" σημεία

Δεν διέρχεται από κανένα άλλο "Τέλειο" σημείο.
Αν επίσης προσθέσουμε το σημείο B(n,n)

στα σημεία του πλέγματος και Clean(n)

είναι το πλήθος
των "Καθαρών" ευθυγράμμων τμημάτων συναρτήσει του

, να δειχθεί ότι αν για κάποιο

ο αριθμός: Clean(n)

είναι τέλειο τετράγωνο τότε και ο

είναι τέλειο τετράγωνο.

Friedoon · #100

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 28 Juniors
Έστω θετικός ακέραιος. Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, θα ονομάζουμε "Τέλεια" τα σημεία για τα οποία ισχύει ότι:
Έχουν μη αρνητικές ακέραιες συντεταγμένες.
$2) 2n\ge x,y\ge 0$ .
.
Στην συνέχεια, ένα ευθύγραμμο τμήμα θα ονομάζεται "Καθαρό" αν:
Τα άκρα του είναι "Τέλεια" σημεία
Δεν διέρχεται από κανένα άλλο "Τέλειο" σημείο.
Αν επίσης προσθέσουμε το σημείο στα σημεία του πλέγματος και είναι το πλήθος
των "Καθαρών" ευθυγράμμων τμημάτων συναρτήσει του , να δειχθεί ότι αν για κάποιο
ο αριθμός: είναι τέλειο τετράγωνο τότε και ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Μου φαίνεται κάπως περίεργος ο τύπος για το Clean(n)

αλλά νομίζω είναι σωστή η λύση μου.
Αρχικά τα "Τέλεια" σημεία είναι τα σημεία με ακέραιες συντεταγμενες που βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου με κορυφές τις : (0,0)(0,2n)(2n,2n)(2n,0)

και το σημείο Β που είναι το κέντρο του τετραγώνου αυτού.
Άρα τα "καθαρά" ευθύγραμμα τμήματα είναι τα εξής:
1)Αυτά που τα άκρα τους είναι γειτονικά σημεία μια πλευράς του τετραγώνου ,που είναι συνολικά

.
2)Αυτά που το ένα τους άκρο είναι το Β,και αυτά είναι

.
3)Αυτά που έχουν για άκρα τους μία κορυφή του τετραγώνου και το άλλο άκρο σε άλλη πλευρά(και δεν περνάνε απο το Β),που είναι 4(4n-2)

4)Αυτά που το ένα άκρο τους είναι σημείο διαφορετικό από τις κορυφές του τετραγώνου και το Β και το άλλο ακρο είναι σε διαφορετική πλευρά (δεν μετράμε το ευθύγραμμο τμήμα που περνάει και από το Β),που είναι (8n-4)(8n-2n-2)

Άρα $Clean(n)=8n+8n+\frac{4(4n-2)+(8n-4)(8n-2n-2)}{2}$ ,διαιρούμε με το 2 τα τμήματα της περίπτωσης 3) και 4) καθώς τα διπλομετράμε όλα. $Clean(n)=8n+8n+\frac{4(4n-2)+(8n-4)(8n-2n-2)}{2}=4n(6n+1)$ όμως gcd(n,6n+1)=1

. Άρα αν το Clean(n)

είναι τέλειο τετράγωνο τότε θα πρέπει και το

αλλά και το (6n+1)

να είναι τέλεια τετράγωνα.

Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Μέλη σε σύνδεση