Μισεμός από τη Σάμο

KARKAR · #1

Αν ενός ορθογωνίου τριγώνου μειώσουμε κάθε μία από τις κάθετες πλευρές του ( οι οποίες

έχουν ακέραια μήκη ) κατά

, προκύπτει τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με το μισό του αρχικού .

Δείξτε ότι οι πλευρές του αρχικού αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

και

οι κάθετες πλευρές του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου.

Προφανώς πρέπει να ισχύει ότι $\dfrac{xy}{4}=\dfrac{(x-2)(y-2)}{2}\Leftrightarrow$ $xy=4x+4y-8\Leftrightarrow x(y-4)=4y-8\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{4y-8}{y-4} \Leftrightarrow x=4+\dfrac{8}{y-4}$ άρα οι δυνατές τιμές του y-4

είναι οι θετικοί διαιρέτες του

, δηλαδή

και αντίστοιχα x=(12, 8, 6, 5)

, άρα

και οι μεταθέσεις τους. Οι αριθμοί όμως (5, 12)

και

αποτελούν μέρος των πυθαγόρειων τριάδων (5, 12, 13)

και

, άρα το ζητούμενο ισχύει.

Υ.Γ. Η υποτείνουσα δεν θα μειωθεί κι αυτή ανάλογα; Ή μήπως όχι; Η λύση μου θεωρεί το πρώτο, ότι δηλαδή το αλλαγμένο τρίγωνο παραμένει ορθογώνιο!

#3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Υ.Γ. Η υποτείνουσα δεν θα μειωθεί κι αυτή ανάλογα; Ή μήπως όχι; Η λύση μου θεωρεί το πρώτο, ότι δηλαδή το αλλαγμένο τρίγωνο παραμένει ορθογώνιο!

Σωστά έλυσες την άσκηση:

Στα συμφραζόμενα της άσκησης είναι ότι μειώνουμε κατά

τις κάθετες πλευρές αλλά τις διατηρούμε κάθετες. Η υποτείνουσα του νέου τριγώνου είναι, βέβαια, μονοσήμαντα ορισμένη.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:... Η υποτείνουσα του νέου τριγώνου είναι, βέβαια, μονοσήμαντα ορισμένη.

Πράγματι, αν a, b, c

είναι οι πλευρές του αρχικού τριγώνου και

η υποτείνουσα του νέου τριγώνου, τότε:

$\displaystyle{{k^2} = {(b - 2)^2} + {(c - 2)^2} = {b^2} + {c^2} - (4b + 4c - 8) = {a^2} - (4b + 4c - 8)}$

Αλλά από υπόθεση, $\displaystyle{4b + 4c - 8 = bc}$ , οπότε $\boxed{k=\sqrt{a^2-bc}}$

Μισεμός από τη Σάμο

Μισεμός από τη Σάμο

Re: Μισεμός από τη Σάμο

Re: Μισεμός από τη Σάμο

Re: Μισεμός από τη Σάμο

Μέλη σε σύνδεση