όροι ακολουθίας άσκηση

batmsup1 · #1

Γεια σας, θέλω μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση, απ' το βιβλίο Επαναληπτικά θέματα 1ης δέσμης Αχτσαλωτίδη. Η άσκηση είναι στις άλυτες.

Να βρεθούν ολοι οι όροι της ακολουθίας $a_{n}$ , αν ισχύει:

$a_{1} =1$ και

$\left | a_{m}-a_{n} \right |\leq \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}} \forall m,n\in \mathbb{N}$

Ευχαριστώ οσους ασχοληθούν.

dement · #2

Κράτα το

σταθερό. Τι παρατηρείς για πολύ μεγάλα

; Τι συνέπειες έχει αυτό;

batmsup1 · #3

Αν θέλετε συνεχίστε το συλλογισμό σας και θα σχολιάσω κι εγω.

#4

batmsup1 έγραψε:Αν θέλετε συνεχίστε το συλλογισμό σας και θα σχολιάσω κι εγω.

Νομίζω ότι ο Δημήτρης τα έχει ήδη πει όλα, με την φράση

dement έγραψε: Τι συνέπειες έχει αυτό;

Ας συμπληρώσω λοιπόν τα συμφραζόμενα: Η a_n

συγκλίνει στο a_m

(οποιοδήποτε

). Από την μοναδικότητα του ορίου όλα τα a_m

είναι ίσα μεταξύ τους. Η ακολουθία είναι σταθερή.

batmsup1 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Η συγκλίνει στο (οποιοδήποτε ).

Kύριε Λάμπρου δεν μπορώ να δω γιατι συμβαίνει αυτο, αν μπορείτε να μου πειτε πιο αναλυτικά. Στα υπόλοιπα βήματα το βλέπω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Θα δώσω μια απόδειξη χωρίς όρια.Δηλαδή ύλη Α Λυκείου.

Εστω $m,n\in \mathbb{N}$ .

Για $k\in \mathbb{N}$ έχουμε

$\left | a_{n}-a_{m} \right |\leq \left | a_{n}-a_{k} \right |+\left | a_{k}-a_{m} \right |\leq \dfrac{2nk}{n^{2}+k^{2}}+\dfrac{2mk}{m^{2}+k^{2}}$ (1)

Αλλά $\dfrac{2nk}{n^{2}+k^{2}}< \dfrac{2kn}{k^{2}}=\dfrac{2n}{k}$ και όμοια για το άλλο.

Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε

$\left | a_{n}-a_{m} \right |< 2(n+m)\frac{1}{k}$

Αν $\left | a_{n}-a_{m} \right |> 0$ τότε η τελευταία δίνει ότι $k< \dfrac{2(n+m)}{\left | a_{n}-a_{m} \right |}$

Επειδή το $k\in \mathbb{N}$ οποιοδήποτε έχουμε ΑΤΟΠΟ

(Χρησιμοποίησα την Αρχιμήδεια ιδιότητα του $\mathbb{N}$ η οποία σιωπηλώς θεωρείται ότι ισχύει)

Αρα $a_{n}=a_{m},m,n\in \mathbb{N}$

οπότε η ακολουθία είναι σταθερή.

#7

batmsup1 έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Η συγκλίνει στο (οποιοδήποτε ).

δεν μπορώ να δω γιατι συμβαίνει αυτο, αν μπορείτε να μου πειτε πιο αναλυτικά. Στα υπόλοιπα βήματα το βλέπω.

Βιαστικά γιατί βρίσκομαι σε αεροδρόμιο για αλλαγή πτήσης.

Για

σταθερό, το όριο $n\to \infty$ του δεξιού μέλους είναι

. Από ισοσυγκλίνουσες, $\lim |a_m-a_n|=0$ , που σημαίνει $\lim a_n = a_m$ .

Ειδικά, δείξαμε $\lim a_n = a_1$ και $\lim a_n = a_2$ και $\lim a_n = a_3$ και ...

Δηλαδή το $\lim a_n$ είναι ίσο με a_1

και

και ...

Άρα όλα τα a_m

είναι ίσα μεταξύ τους ως ίσα με $\lim a_n$

batmsup1 · #8

Ευχαριστώ τον κύριο Παπαδόπουλο και τον κύριο Λάμπρου για τις αναλυτικές απαντήσεις τους καθώς και τον κύριο dement για τις υποδείξεις στην άσκηση.

όροι ακολουθίας άσκηση

όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Re: όροι ακολουθίας άσκηση

Μέλη σε σύνδεση