Αρχιμήδης 2016-2017

Friedoon · #121

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 13 Seniors
Η ακολουθία $a_{n}$ ορίζεται από την σχέση:
$2a_{n+1}+2=a_{n+2}+a_{n}, n\ge1$ και
$a_{1}=2, a_{2}=5$ Να βρεθούν οι διάφορες τιμές
του θετικού ακέραιου για τον οποίο ισχύει ότι
ο αριθμός $a_{c}^2+a_{c+1}$ είναι τέλειο τετράγωνο

Αρχικά παρατηρούμε πως ισχύει για c=1

Έστω τώρα c>1
Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε πως a_n=(n-1)a_2+(n-2)(n-1)-(n-2)a_1=n^2+1

Άρα $a_{c}^2+a_{c+1}=c^4+3c^2+2c+1$ ,όμως για c>1 ισχύει:
(c^2+1)^2<c^4+3c^2+2c+1<(c^2+2)^2

Άρα μοναδική λύση είναι το c=1

Γιάννης Μπόρμπας · #122

Friedoon έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 2 Seniors
Αν για τα πολυώνυμα και όπου μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι:
1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς κοινές ρίζες.
2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξονα σε ακριβώς 3 διαφορετικά σημεία
3)Αν $r,s\in\mathbb{R} : P(r)=0 , Q(s)=0 , P(s)Q(r)\not=0$ τότε
Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα συναρτήσει του .
Ουσιαστικά έχουμε 2 πολυώνυμα 3ου βαθμού που το καθένα έχει 3 ρίζες,2 εκ των οποίων είναι κοινές.
Παρατηρούμε πως και διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
1) το 1 είναι μη κοινή ρίζα των πολυωνύμων , τότε
και .Τώρα από τους τύπους του Vieta έχουμε τα εξής.
$x+y=4-\frac{b}{a}$ (1) ,
$xy-4(x+y)=\frac{c}{a}$ (2) ,
$-4xy=-\frac{d}{a}$ (3) ,
$x+y=-1+\frac{c-b}{a-b}$ (4),
$xy+x+y=\frac{c-d}{a-b}$ (5),
$xy=\frac{a-d}{a-b}$ (6),
όπου χ,y οι 2 κοινές ρίζες.
λύνοντας διαδοχικά για κάθε μεταβλητή βρίσκουμε πως :
,
και

2) Το 1 είναι κοινή ρίζα, τότε απο τους τύπους του Vieta θα έχουμε :
Όπου και θα πάρουμε ένα σύστημα 7 μετβλητών και 8 εξισώσεων.

Θα χρειαστεί να λύσω τo παραπάνω σύστημα,ή μου διαφεύγει κάτι;

Νομίζω είναι εμφανές πως δεν θα έβαζα στον κόπο κάποιο λύτη να ακολουθήσει αυτόν τον δρόμο.
Υπάρχει και ένας πιο όμορφος τρόπος!

Γιάννης Μπόρμπας · #123

simantiris j. έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 30 Seniors
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την σχέση:
$P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R}$ .
Καλησπέρα!Μια λύση για αυτήν.
$P(0,0)\Rightarrow f(f(0)=0$
$P(f(0),f(0))\Rightarrow f(0)=f(0)(f(0)+1)\Rightarrow f(0)=0$ .
$P(0,y)\Rightarrow f(f(y))=y$ άρα η f είναι 1-1.
$P(x,1)\Rightarrow f(x+f(1))=f(x)+1$ όπου για το έχουμε $f(f(x)+f(1))=x+1=f(f(x+1))\Rightarrow f(x+1)=f(x)+f(1)$ (λόγω του 1-1),άρα είναι και (1).
$P(1,x)\Rightarrow f(f(x)+1)+f(xf(1))=2x+f(1)\Rightarrow f(xf(1))=x$ (χρησιμοποιήθηκε η (1))
Αν έχω άτοπο άρα στην προηγούμενη θέτοντας όπου το έχω και με αντικατάσταση στην αρχική παίρνω ότι ή.
Άρα $f(x)=x, \forall x\in \mathbb{R}$ ή $f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Πάρα πολύ όμορφα!

Γιάννης Μπόρμπας · #124

Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!

JimNt. · #125

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!

για τον χρόνο που αφιέρωσες!

harrisp · #126

JimNt. έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!
για τον χρόνο που αφιέρωσες!

Μπράβο και απο εμένα μας βοηθήσεις ιδιαίτερα!

Καλή τύχη σου εύχομαι.

Friedoon · #127

WLOG έγραψε:Άσκηση 6 (Seniors)

Αν $\displaystyle{P(x), Q(x), R(x), S(x)}$ είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:

$\displaystyle{P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5}) = (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)S(x)}$

Να δείξετε ότι το $\displaystyle{x-1}$ διαιρεί το $\displaystyle{P(x).}$

Επειδή $(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)=(x-w)(x-w^2)(x-w^3)(x-w^4)$ ,
όπου $w=Cis\frac{2\pi}{5}$
Άρα:
P(1)+wQ(1)+w^2R(1)=0

(1)

(2)

(3)

Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε πως :
4P(1)=Q(1)+R(1)

Ακόμα $(2)-(1)\Rightarrow$ :
$w^2Q(1)-wQ(1)+w^4R(1)-w^2R(1)=w(w-1)[Q(1)+w^2R(1)+wR(1)]=0 \Leftrightarrow Q(1)+w^2R(1)+wR(1)=0$
Q(1)(1-w)+wR(1)=P(1)

και $(3)-(2)\Rightarrow$
$w^3Q(1)-w^2Q(1)+w^6R(1)-w^4R(1)=0 \Leftrightarrow w^2(w-1)[Q(1)+w^3R(1)+w^2R(1)]=0$
$\Leftrightarrow Q(1)(1-w)+w^3R(1)=P(1)$
Από τις παραπάνω σχέσεις είναι φανερό πως :
$w^3R(1)=wR(1) \Leftrightarrow R(1)=0$
Άρα 4P(1)=Q(1)

Άρα αντικαθιστώντας στην (1): $P(1)(1+4w)=0 \Leftrightarrow P(1)=0$ και το ζητούμενο έπεται.

Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Μέλη σε σύνδεση