Μέση τιμή του γινομένου μονοτόνων πραγματικών συναρτήσεων

Βαγγέλης Κορφιάτης · #1

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση αποτέλεσε ένα πρόβλημα υδροστατικής. Πιο συγκεκριμένα σχέση της υδροστατικής πίεσης στον πυθμένα ενός δοχείου που περιέχει ένα ομογενοποιημένο μείγμα υγρών με την πίεση του μίγματος όταν τα συστατικά του είναι διαχωρισμένα. Η έννοια μέση πυκνότητα είναι το κρίσιμο μέγεθος για την επίτευξη του συσχετισμού.

Στην γενική περίπτωση πραγματικών συναρτήσεων, η μέση τιμή του γινομένου δύο συναρτήσεων δεν βρίσκεται καν σε καθορισμένη σχέση διάταξης με το γινόμενο των μέσων τιμών.
Όταν όμως οι συναρτήσεις είναι μονότονες με το ίδιο ίδιο είδος μονοτονίας τότε το γινόμενο των μέσω τιμών δεν υπερβαίνει την μέση τιμή του γινομένου.

$\#\quad\overline f \cdot \overline g \leqslant \overline {f \cdot g} \Leftrightarrow \frac{{\int\limits_\alpha ^\beta {f(z)dz} }}{{\beta - \alpha }} \cdot \frac{{\int\limits_\alpha ^\beta {g(z)dz} }}{{\beta - \alpha }} \leqslant \frac{{\int\limits_\alpha ^\beta {f(z)g(z)dz} }}{{\beta - \alpha }}$
Στην περίπτωση που οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες, η απόδειξη μπορεί να γίνει με εργαλεία της Γ' τάξης ( ύλη πριν το 2016).
Αντίστοιχη σχέση μπορεί να αποδειχθεί και στην περίπτωση διατεταγμένων πεπερασμενων υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ .
Άμεση συνέπεια του παραπάνω είναι η απόδειξη της # στην περίπτωση τυχαίων Riemann ολοκληρώσιμων και μονότονων ίδιου είδους μονοτονίας πραγματικών συναρτήσεων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Τα πράγματα είναι πολύ πιο απλά και γίνονται με ύλη Λυκείου (όχι πνεύμα)

Εστω $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ με το ίδιο είδος μονοτονίας.

Είναι $(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))\geq 0$

Δηλαδή $f(x)g(x)-f(y)g(x)-g(y)f(x)+f(y)g(y)\geq 0$

Κρατώντας το

σταθερό και ολοκληρώνοντας ως προς

παίρνουμε

$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx-f(y)\int_{a}^{b}g(x)dx-g(y)\int_{a}^{b}f(x)+(b-a)f(y)g(y)\geq 0$

Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη ως προς

έχουμε

$(b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx-\int_{a}^{b}f(y)dy\int_{a}^{b}g(x)dx-\int_{a}^{b}g(y)dy\int_{a}^{b}f(x)dx+(b-a)\int_{a}^{b}f(y)g(y)dy\geq 0$

επειδή $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\int_{a}^{b}f(y)g(y)dy$ και ομοίως για τα άλλα

παίρνουμε $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\geq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}g(x)dx$

Παρατηρήσεις
1)Για το Λύκειο τις παίρνουμε συνεχείς

2)Επειδή κάθε μονότονη συνάρτηση είναι Riemann ολοκληρώσιμη ισχύει γενικά

3)Αν οι συναρτήσεις εχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας η ανισότητα είναι ανάποδα.

Μέση τιμή του γινομένου μονοτόνων πραγματικών συναρτήσεων

Μέση τιμή του γινομένου μονοτόνων πραγματικών συναρτήσεων

Re: Μέση τιμή του γινομένου μονοτόνων πραγματικών συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση