Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Καλησπέρα σας!
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1.Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε .
ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για κάθε . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού στην 4.
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1.Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε .
ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για κάθε . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού στην 4.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Φεβ 25, 2017 3:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Για προκύπτειachilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε .
Αν για προκύπτει δηλαδή
Αν για προκύπτει άρα
για κάθε . (1)
Για προκύπτει ενώ για προκύπτει που λόγω της προηγούμενης δίνει .
Από την (1) προκύπτει
Άρα , που ικανοποιούν την αρχική και οι δύο.
Μάγκος Θάνος
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Η αρχική γίνεται , που έχει . Πρέπει . Για παίρνουμε , άτοπο. Συνεπώς, . Αντικαθιστούμε και λύνουμε την δευτεροβάθμια που προκύπτει και δίνει την λύση . Συνεπώς,achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 1.Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει
Bye :')
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1.Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε .
ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για κάθε . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Είσαι σίγουρος;mikemoke έγραψε:η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒCachilleas έγραψε:Είσαι σίγουρος;mikemoke έγραψε:η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Πρέπει να ξανακοιτάξεις τον ισχυρισμό σου.mikemoke έγραψε:Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒCachilleas έγραψε:Είσαι σίγουρος;mikemoke έγραψε:η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Είναι άλλο η ευθεία κι άλλο η πλευρά .
Η διατύπωση είναι σωστή.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
achilleas έγραψε:Πρέπει να ξανακοιτάξεις τον ισχυρισμό σου.mikemoke έγραψε:Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒCachilleas έγραψε:Είσαι σίγουρος;mikemoke έγραψε:η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .
Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Είναι άλλο η ευθεία κι άλλο η πλευρά .
Η διατύπωση είναι σωστή.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 25, 2017 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διαγραφή συνημμένου σκαναρισμένου αρχείου.
Λόγος: Διαγραφή συνημμένου σκαναρισμένου αρχείου.
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Εννοείς ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην πρώτη ανάρτηση.
Ευχαριστώ πολύ!
Φιλικά,
Αχιλλέας
Σε αυτό έχεις δίκιο. Φαίνεται ότι άλλαξες το σε , οπότε στην παράθεσή σου δεν είδα κάποια διαφορά, αφού διάβασαachilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. ...
και η τέμνει την ευθεία στο .
....
Πράγματι, το σωστό είναι . Υπήρχε τυπογραφικό λάθος.mikemoke έγραψε:.....η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:....
και η τέμνει την ευθεία στο .
,....
....
Ευχαριστώ πολύ!
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Φεβ 25, 2017 3:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Παρακαλώachilleas έγραψε:Τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Εννοείς ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην πρώτη ανάρτηση.
Σε αυτό έχεις δίκιο. Φαίνεται ότι άλλαξες το σε , οπότε στην παράθεσή σου δεν είδα κάποια διαφορά, αφού διάβασαachilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. ...
και η τέμνει την ευθεία στο .
....
Πράγματι, το σωστό είναι .mikemoke έγραψε:.....η τέμνει την ευθεία στο . Υπαρχει λάθοςachilleas έγραψε:....
και η τέμνει την ευθεία στο .
,....
....
Ευχαριστώ.
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Αναμένουμε απόδειξη της άσκησης τώρα.mikemoke έγραψε:...
Παρακαλώ
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
ΛΥΣΗ:achilleas έγραψε:Αναμένουμε απόδειξη της άσκησης τώρα.mikemoke έγραψε:...
Παρακαλώ
Φιλικά,
Αχιλλέας
Αρκεί να δείξουμε οτι μεσοκάθετοι των αντίστοιχα. Aς αποδείξουμε την με
ως εγγεγραμένες στο τόξο
έστω σημείο τομής με και της με
αφού , ορθογώνια τρίγωνα με κοινή
ως κατακορυφήν
Άρα τρίγωνα = και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Ο λόγος που αρκεί αυτό είναι :
ως εγγεγραμένες στο τόξο
λογω της μεσοκαθετότητας
και αρα και η κατακορυφήν της θα ναι ίση με
Άρα ,συντρέχουν στο
και ετσι αποδείξαμε ότι συνευθειακά. Oμοιώς αποδεικνύεται και για
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Εφόσον η σχέση ισχύει για κάθε , αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές των δύο πολυωνύμων είναι ίσοι. Δηλαδήachilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για κάθε . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .
και .
Ας γράψουμε . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι . (Σε διαφορετική περίπτωση αλλάζουμε τα πρόσημα των .) Έχουμε . Θέτω και . Η τελευταία ανισότητα προκύπτει επειδή το έχει πραγματικές λύσεις οπότε η διακρίνουσά του είναι μη αρνητική.
Ας υποθέσουμε . Τότε
Οπότε
.
Πρέπει λοιπόν .
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε
ή ισοδύναμα
.
Αυτό δίνει , οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες