Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

#1

Ένα τεστ προετοιμασίας. Επίπεδο Λυκείου - Μεγάλοι. Διάρκεια: 3 ώρες και 30 λεπτά.

1. Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

για τον οποίο υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x_1,x_2,...,x_n

που ικανοποιούν τις συνθήκες

i) $\displaystyle{x_i\in \left[ \frac{1}{2},2 \right],}$ για κάθε i=1,2,...,n

ii) $\displaystyle{x_1+x_2+...+x_n\geq \frac{7n}{6}}$

iii) $\displaystyle{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\geq \frac{4n}{3}}$

2. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί

για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{2p^2-3p-1}$ είναι τέλειος κύβος ακεραίου.

3. Έστω ABC

ισοσκελές τρίγωνο, με AB = AC,

και

σημεία των πλευρών

και

αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BAM =\angle MNC.$ Οι ευθείες

και

τέμνονται στο

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $\angle BAM$ και $\angle BPM$ τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.

4. Έστω

ένας μη αρνητικός ακέραιος. Θεωρούμε σκακιέρα $(2n+1)\times (2n+1)$ χρωματισμένη εναλλάξ μαύρο - άσπρο.
Ένα τετράγωνο $m\times m$ της σκακιέρας, όπου $1\leq m \leq 2n+1,$ θα λέγεται καλό αν η μαύρη επιφάνειά του έχει μεγαλύτερο εμβαδό από την άσπρη επιφάνειά του.
Αν η αρχική σκακιέρα είναι ένα καλό τετράγωνο, να βρείτε, συναρτήσει του

, το πλήθος όλων των καλών τετραγώνων της σκακιέρας.

Friedoon · #2

socrates έγραψε: 2. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{2p^2-3p-1}$ είναι τέλειος κύβος ακεραίου.

Το 3 ικανοποιεί τη σχέση.Έστω τώρα $p\neq 3$ και 2p^2-3p-1=k^3

Αρχικά παρατηρούμε πως $p^3>2p^2-3p-1=k^3 \Rightarrow p\ge k+1$ (1)
Παραγοντοποιούμε την παράσταση p(2p-3)=(k+1)(k^2-k+1)

όμως

άρα διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
α) $p|k+1 \Rightarrow^{(1)} p=k+1 \Rightarrow 2p-3=k^2-k+1 \Rightarrow k^2-3k+2=0$
$\Rightarrow k=1 \vee k=2 \Rightarrow p=2$
β) $p|k^2-k+1 \Rightarrow k+1|2p-3 \Rightarrow 2p\equiv 3 \equiv k^2-k+1(mod(k+1))$
Άρα θα υπάρχει μη αρνητικός ακέραιος l τέτοιος ώστε $k^2-k+1=2p+l(k+1) \Rightarrow p|l \Rightarrow l=pm\Rightarrow k^2-k+1=p(2+m(k+1))$
όμως αν $m\ge 1 \Rightarrow k^2-k+1\ge p(k+3)\ge(k+2)(k+3)$ που είναι άτοπο(χρησιμοποιήθηκε το ότι αφού $p\ge k+1$ και το p δεν διαιρεί το κ+1 θα ισχύει $p\ge k+2$ ).
Άρα $2p=k^2-k+1 \Rightarrow p(2p-3)=2p(k+1) \Rightarrow 2p-3=2(k+1)$ που είναι αδύνατο.

Άρα οι μόνες λύσεις είναι p=2

και

#3

socrates έγραψε:Ένα τεστ προετοιμασίας. Επίπεδο Λυκείου - Μεγάλοι. Διάρκεια: 3 ώρες και 30 λεπτά.

1. Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις συνθήκες

i) $\displaystyle{x_i\in \left[ \frac{1}{2},2 \right],}$ για κάθε

ii) $\displaystyle{x_1+x_2+...+x_n\geq \frac{7n}{6}}$

iii) $\displaystyle{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\geq \frac{4n}{3}}$

Αν $\displaystyle{x_i\in \left[ \frac{1}{2},2 \right],}$ είναι $\displaystyle{(2x_i-1)(x_i-2)\leq 0\implies x_i+\frac{1}{x_i}\leq \frac{5}{2}}$ άρα

$\displaystyle{\sum x_i+\sum \frac{1}{x_i}\leq \frac{5n}{2}\implies \frac{7n}{6}+\frac{4n}{3}\leq \frac{5n}{2}.}$

Όμως αυτή ισχύει ως ισότητα. Επομένως ισχύει η ισότητα στην $\displaystyle{(2x_i-1)(x_i-2)\leq 0,}$ δηλαδή όλα τα $\displaystyle{x_i}$ είναι $\displaystyle{2}$ ή $\displaystyle{\frac{1}{2}.}$

Ας είναι $\displaystyle{a}$ εξ αυτών ίσα με $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ , οπότε $\displaystyle{n-a}$ θα είναι ίσα με $\displaystyle{2}$ .

Από τη συνθήκη ii) , οποία θα ισχύει και αυτή ως ισότητα προκύπτει $\displaystyle{9a=5n.}$ Οι μικρότερες φυσικές τιμές που την ικανοποιούν είναι οι $\displaystyle{n=9, a=5.}$

Πράγματι, οι αριθμοί $\displaystyle{\{2,2,2,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}}$ είναι λύση του προβλήματος.

#4

socrates έγραψε:
4. Έστω ένας μη αρνητικός ακέραιος. Θεωρούμε σκακιέρα $(2n+1)\times (2n+1)$ χρωματισμένη εναλλάξ μαύρο - άσπρο.
Ένα τετράγωνο $m\times m$ της σκακιέρας, όπου $1\leq m \leq 2n+1,$ θα λέγεται καλό αν η μαύρη επιφάνειά του έχει μεγαλύτερο εμβαδό από την άσπρη επιφάνειά του.
Αν η αρχική σκακιέρα είναι ένα καλό τετράγωνο, να βρείτε, συναρτήσει του , το πλήθος όλων των καλών τετραγώνων της σκακιέρας.

Αφού η σκακιέρα είναι καλή, τότε ένα τετραγωνάκι (a,b)

(με $1 \leqslant a,b \leqslant 2n+1$ ) της σκακιέρας είναι μαύρο αν και μόνο αν a+b

άρτιος.

Κάθε καλό τετράγωνο θα είναι της μορφής $(2k+1) \times (2k+1)$ με το κάτω αριστερά τετραγωνάκι της να είναι μαύρο. Άρα μας ενδιαφέρει να βρούμε το πλήθος των τριάδων (a,b,k)

με $0 \leqslant k \leqslant n$ , $1 \leqslant a,b \leqslant 2(n-k)+1$ , και a+b

άρτιο.

Αλλά για κάθε

, έχουμε

επιλογές ώστε τα a,b

να είναι και οι δύο άρτιοι, και (n-k+1)^2

επιλογές ώστε να είναι και οι δύο περιττοί. Συνολικά λοιπόν έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} \sum_{k=0}^n [(n-k)^2 + (n-k+1)^2] &= \sum_{k=0}^n [2k^2 - 2k(2n+1) + (2n^2+2n+1)] \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1)(2n+1) + (n+1)(2n^2+2n+1)\\ &= \frac{n+1}{3}\left[ (2n^2+n) - (6n^2+3n) + (6n^2 + 6n+3) \right] \\ &= \frac{(n+1)(2n^2+4n+3)}{3} \end{aligned} }$

dement · #5

socrates έγραψε: 3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο, με και σημεία των πλευρών και αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BAM =\angle MNC.$ Οι ευθείες και τέμνονται στο Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $\angle BAM$ και $\angle BPM$ τέμνονται πάνω στην ευθεία

Τα τρίγωνα $\triangle{ABM}, \triangle{MNC}$ είναι όμοια αφού $\angle{ABM} = \angle{NCM}, \angle{BAM} = \angle{MNC}$ . Άρα η $\angle{NMC} = \angle{AMB}$ είναι παραπληρωματική της $\angle{PMB}$ και η

είναι εξωτερική διχοτόμος της $\angle{AMP}$ . Έτσι, επάνω στην

βρίσκεται το ζητούμενο παράκεντρο του $\triangle{AMP}$ .

KARKAR · #6

: Αρχιμηδική.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 1458 φορές

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

και

σημείο του

. Η

τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

. Είναι απλό να δούμε ότι $\widehat{BAM}=\widehat{MNC}$

και άρα έχουμε ένα σχήμα ανταποκρινόμενο στα δεδομένα .

Αν η

είναι διχοτόμος της $\hat{P}$ τότε το

είναι το έγκεντρο του BPA'

,

άρα η A'S

διχοτόμος της $\widehat{MA'B}$ και -λόγω συμμετρίας -

διχοτόμος της $\widehat{BAM}$

Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (7), Μεγάλοι

Μέλη σε σύνδεση