Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

christodoulos703 · #1

Με αφορμή τον Προκριματικό διαγωνισμό προτείνω να βάλουμε θέματα και φυλλάδια για αυτόν με σκοπό την προετοιμασία μας.Τα θέματα να λύνονται κατά προτίμηση από τους μαθητές.

christodoulos703 · #2

Ας αρχίσουμε με μερικές ανισότητες όπως γίνεται και στον Προκριματικό.Εγω απλά δεν έχω πολύ ποιοτικό υλικό.

Al.Koutsouridis · #3

ΑΣΚΗΣΗ 1

Για τους θετικούς αριθμούς $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot \dfrac{a_{2}+a_{3}}{2}\cdot ... \cdot \dfrac{a_{n}+a_{1}}{2} \leq \dfrac{a_1+a_2+a_3}{2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{a_2+a_3+a_4}{2\sqrt{2}} \cdot ... \cdot \dfrac{a_n+a_1+a_2}{2\sqrt{2}}$

Πηγή: Μαθηματική ολυμπιάδα φυσικομαθηματικού λυκείου 239 Α.Πετρούπολης, για τις τάξεις 8/9.

Ορέστης Λιγνός · #4

ΑΣΚΗΣΗ 2

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Έστω

ένα σημείο του κύκλου και $PA_1 \perp BC, \, PB_1 \perp AC$ .

Έστω επίσης $PD \perp A_1B_1$ (

σημείο της A_1B_1

) και

.

Αν $a=\widehat{B_1A_1B}$ , να δείξετε ότι :

1) $PA \cdot PA_1=2Rd$ , όπου

η ακτίνα του κύκλου (A,B,C)

,

2) $\cos a=\dfrac{PA}{2R}$ .

: orestis.png (23.45 KiB) Προβλήθηκε 2309 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Θεωρούμε τρίγωνο και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Έστω ένα σημείο του κύκλου και $PA_1 \perp BC, \, PB_1 \perp AC$ .

Έστω επίσης $PD \perp A_1B_1$ ( σημείο της ) και .

Αν $a=\widehat{B_1A_1B}$ , να δείξετε ότι :

1) $PA \cdot PA_1=2Rd$ , όπου η ακτίνα του κύκλου ,

2) $\cos a=\dfrac{PA}{2R}$ .

orestis.png

Ωραίο Πρόβλημα

!

Πρώτα το β)

Έστω C_1

η προβολή του

πάνω στην

.

Η ευθεία A_1B_1

είναι ευθεία Simson

, άρα τα σημεία A_1, B_1, C_1

είναι συνευθειακά.

Ακόμη το τετράπλευρο PC_1BA_1

είναι εγγράψιμο, καθώς $\widehat{PC_1B}=\widehat{PA_1B}=90^o$ .

Άρα $\widehat{B_1A_1B}=\widehat{BPC_1}=a$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο BPC_1

έχουμε πως $\cos a=\dfrac{PC_1}{PB}$

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε πως $\dfrac{PC_1}{PB}=\dfrac{PA}{2R}$ .

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

. Προφανώς PK=2R

, άρα αρκεί να ισχύει ότι:

$\dfrac{PC_1}{PB}=\dfrac{PA}{PK}\Leftrightarrow \dfrac{PC_1}{PA}=\dfrac{PB}{PK}$ .

Για αυτό αρκεί τα τρίγωνα C_1PA

και

να είναι όμοια.

Πράγματι, αφού

διάμετρος έχουμε πως $\widehat{PBK}=90^o$ , άρα είναι και τα δύο ορθογώνια. Ταυτόχρονα, από το εγγράψιμο APKB

έχουμε πως $\widehat{PAC_1}=\widehat{PKB}$ και το ζητούμενο έπεται.

α)

Από το β) η εξίσωση γίνεται:

$\cos a \cdot PA_1=d$ , άρα αρκεί $\sin {\widehat{DA_1P}}\cdot PA_1=d$ , καθώς $\widehat{DA_1P}$ και

είναι συμπληρωματικές γωνίες. Έχουμε πως $\sin {\widehat{DA_1P}}\cdot PA_1=d\Leftrightarrow$ $\sin {\widehat{DA_1P}}=\dfrac{d}{PA_1}$ , που ισχύει επειδή το τρίγωνο DPA_1

είναι ορθογώνιο.

Ορέστης Λιγνός · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Θεωρούμε τρίγωνο και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Έστω ένα σημείο του κύκλου και $PA_1 \perp BC, \, PB_1 \perp AC$ .

Έστω επίσης $PD \perp A_1B_1$ ( σημείο της ) και .

Αν $a=\widehat{B_1A_1B}$ , να δείξετε ότι :

1) $PA \cdot PA_1=2Rd$ , όπου η ακτίνα του κύκλου ,

2) $\cos a=\dfrac{PA}{2R}$ .

orestis.png
Ωραίο Πρόβλημα !

Πρώτα το β)

Έστω η προβολή του πάνω στην .

Η ευθεία είναι ευθεία , άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.

Ακόμη το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, καθώς $\widehat{PC_1B}=\widehat{PA_1B}=90^o$ .

Άρα $\widehat{B_1A_1B}=\widehat{BPC_1}=a$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε πως $\cos a=\dfrac{PC_1}{PB}$

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε πως $\dfrac{PC_1}{PB}=\dfrac{PA}{2R}$ .

Έστω το αντιδιαμετρικό του . Προφανώς , άρα αρκεί να ισχύει ότι:

$\dfrac{PC_1}{PB}=\dfrac{PA}{PK}\Leftrightarrow \dfrac{PC_1}{PA}=\dfrac{PB}{PK}$ .

Για αυτό αρκεί τα τρίγωνα και να είναι όμοια.

Πράγματι, αφού διάμετρος έχουμε πως $\widehat{PBK}=90^o$ , άρα είναι και τα δύο ορθογώνια. Ταυτόχρονα, από το εγγράψιμο έχουμε πως $\widehat{PAC_1}=\widehat{PKB}$ και το ζητούμενο έπεται.

α)

Από το β) η εξίσωση γίνεται:

$\cos a \cdot PA_1=d$ , άρα αρκεί $\sin {\widehat{DA_1P}}\cdot PA_1=d$ , καθώς $\widehat{DA_1P}$ και είναι συμπληρωματικές γωνίες. Έχουμε πως $\sin {\widehat{DA_1P}}\cdot PA_1=d\Leftrightarrow$ $\sin {\widehat{DA_1P}}=\dfrac{d}{PA_1}$ , που ισχύει επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

(ακολουθεί το σχήμα)

Μπράβο Διονύση!

christodoulos703 · #7

Θα μπορούσαμε να φέρουμε και κάποια φυλλάδια προετοιμασίας.Θα φέρω και εγώ κάποια ενδεχομένως.

christodoulos703 · #8

Υπάρχει κάποιος ο οποίος διαθέτει φυλλάδια από τα μαθήματα προετοιμασίας της εμέ γιατί πιστεύω πώς θα ήταν ιδιαίτερα βοηθητικά.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1

Για τους θετικούς αριθμούς $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot \dfrac{a_{2}+a_{3}}{2}\cdot ... \cdot \dfrac{a_{n}+a_{1}}{2} \leq \dfrac{a_1+a_2+a_3}{2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{a_2+a_3+a_4}{2\sqrt{2}} \cdot ... \cdot \dfrac{a_n+a_1+a_2}{2\sqrt{2}}$

Πηγή: Μαθηματική ολυμπιάδα φυσικομαθηματικού λυκείου 239 Α.Πετρούπολης, για τις τάξεις 8/9.

οπότε

$(a_1+a_2+a_3)(a_2+a_3+a_4)>2(a_2+a_3)\sqrt{(a_1+a_2)(a_3+a_4)}$

Ομοίως

$(a_2+a_3+a_4)(a_3+a_4+a_5)>2(a_3+a_4)\sqrt{(a_2+a_3)(a_4+a_5)}$

$\vdots$

$(a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)(a_{n-1}+a_n+a_1)>2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{(a_{n-2}+a_{n-1})(a_n+a_1)}$

$(a_{n-1}+a_n+a_1)(a_n+a_1+a_2)>2(a_n+a_1)\sqrt{(a_{n-1}+a_n)(a_1+a_2)}$

$(a_n+a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)>2(a_1+a_2)\sqrt{(a_n+a_1)(a_2+a_3)}$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και έχουμε τη ζητούμενη.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #10

christodoulos703 έγραψε:Θα μπορούσαμε να φέρουμε και κάποια φυλλάδια προετοιμασίας.Θα φέρω και εγώ κάποια ενδεχομένως.

https://parmenides51.blogspot.gr/p/eme.html

christodoulos703 · #11

Και ξενόγλωσσα μπορούμε να βάλουμε.Ίσως σε θεωρία αριθμών και συνδυαστική.

Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

Re: Προκριματικός διαγωνισμός

Re: Προκριματικός διαγωνισμός

Re: Προκριματικός διαγωνισμός

Re: Προκριματικός διαγωνισμός

Re: Προκριματικός διαγωνισμός

Re: Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

Re: Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

Re: Προκριματικός διαγωνισμός

Re: Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

Re: Προετοιμασία για τον προκριματικό διαγωνισμό 2017

Μέλη σε σύνδεση