Χωρισμός σε τρίγωνο

[harrisp]

Παίρνουμε σημεία που χωρίζουν τις πλευρές του τριγώνου p σε ίσα μέρη, πρώτος. Ενώνουμε τα σημεια στις πλευρες με τις κορυφές . Να βρεθεί το μέγιστο πληθος των περιοχών που δημιουργούνται.

Ας το αφήσουμε 1 μέρα για μαθητές.


Edit: Ο Διονυσης και ο JimNt. μου επισήμαναν το λαθος που τωρα ειδα. Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

[harrisp]

Επαναφορά για όλους !

[harrisp]

Επαναφορά !


Αν δεν απαντηθεί σημερα θα δώσω hint.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Όταν , έχουμε περιοχές (έχουμε τις διαμέσους του τριγώνου).

Έστω .

Θα αποδείξουμε πως δεν υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν μέσα στο τρίγωνο.

Έστω πως υπάρχουν σημεία στις πλευρές αντίστοιχα, έτσι ώστε το να περιέχει μοναδιαία τμήματα, το να περιέχει μοναδιαία τμήματα και το να περιέχει μοναδιαία τμήματα και τα ευθύγραμμα τμήματα και να συντρεχουν.

Από το θεώρημα πρέπει να ισχύει ότι:

ή ισοδύναμα άρα ή ή . Όμως , άρα έχουμε άτοπο.

Άρα δεν υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν.

Για να βρούμε τον αριθμό των περιοχών ας ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία:

Ξεκινάμε φέρνοντας μόνο τα ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή . Αυτά χωρίζουν το τρίγωνο σε περιοχές.

Στη συνέχεια φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή . Καθένα από αυτά χωρίζει καθεμιά από τις προηγούμενες περιοχές σε περιοχές. Άρα έχουμε περιοχές.

Τέλος φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή . Καθένα από αυτά τέμνεται από όλα τα προηγούμενα τμήματα σύμφωνα με τα παραπάνω σε σημεία, χωρίζεται λοιπόν σε ευθύγραμμα τμήματα. Κάθε τέτοιο τμήμα δημιουργεί μια επιπλέον περιοχή, δημιουργώντας δηλαδή επιπλέον περιοχές.

Συνολικά, έχουμε περιοχές.

[harrisp]

Όταν , έχουμε περιοχές (έχουμε τις διαμέσους του τριγώνου).

Έστω .

Θα αποδείξουμε πως δεν υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν μέσα στο τρίγωνο.

Έστω πως υπάρχουν σημεία στις πλευρές αντίστοιχα, έτσι ώστε το να περιέχει μοναδιαία τμήματα, το να περιέχει μοναδιαία τμήματα και το να περιέχει μοναδιαία τμήματα και τα ευθύγραμμα τμήματα και να συντρεχουν.

Από το θεώρημα πρέπει να ισχύει ότι:

ή ισοδύναμα άρα ή ή . Όμως , άρα έχουμε άτοπο.

Άρα δεν υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν.

Για να βρούμε τον αριθμό των περιοχών ας ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία:

Ξεκινάμε φέρνοντας μόνο τα ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή . Αυτά χωρίζουν το τρίγωνο σε περιοχές.

Στη συνέχεια φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή . Καθένα από αυτά χωρίζει καθεμιά από τις προηγούμενες περιοχές σε περιοχές. Άρα έχουμε περιοχές.

Τέλος φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή . Καθένα από αυτά τέμνεται από όλα τα προηγούμενα τμήματα σύμφωνα με τα παραπάνω σε σημεία, χωρίζεται λοιπόν σε ευθύγραμμα τμήματα. Κάθε τέτοιο τμήμα δημιουργεί μια επιπλέον περιοχή, δημιουργώντας δηλαδή επιπλέον περιοχές.

Συνολικά, έχουμε περιοχές.

Ωραίος !