Ταυτότητες

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Εδώ θα συλλέγουμε ταυτότητες Γυμνασίου και Λυκείου. Όποιος θέλει μπορεί να προσθέτει. Ξεκινάω με τις πιο απλές:
1) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
Απόδειξη: $(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$
2) $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Απόδειξη: $(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}$
3) $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Απόδειξη: $(a-b)(a+b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$
Συνεχίστε...

MATHIMARKOS · #2

Μια άλλη ταυτότητα είναι:
$(\alpha +\beta +\gamma )^{2}=a^{2}+b^{2}+\gamma ^{2}+2\alpha \beta +2\beta \gamma +2\alpha \gamma$
Με κάθε αλλαγή προσίμων είναι:
π.χ. $(\alpha -\beta -\gamma )^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\alpha \beta +2\beta \gamma -2\alpha \gamma$
Και μια πολλή γνωστή:
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{2}$
Εδώ τα πρόσιμα επειδή είναι σε μονή δύναμη για να τα αλλάξουμε, μπορούμε να βγάλουμε ένα πλην έξω. Όταν ο

είναι αρνητικός, τα πρόσιμα πηγαίνουν ένα παρά ένα, δηλαδή:
$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Ορέστης Λιγνός · #3

Αγαπητοί φίλοι, Μαθηματικά σημαίνει σκέφτομαι, βρίσκω τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα, αυτοσχεδιάζω, συνθέτω για να ρίξω το θηρίο στο καναβάτσο !

Δεν αναπαράγω έτοιμο υλικό που υπάρχει σε όλα τα απλά βιβλία μαθηματικών.

Τότε δεν κάνω μαθηματικά , απλά εξασκούμαι στην πληκτρολόγηση !

Πιστεύω ότι δεν έχετε σκοπό να γίνετε γραμματείς !

Με όλο το σεβασμό πιστεύω ότι είστε σε λάθος δρόμο.

Προτείνετε ασκήσεις και λύστε ασκήσεις για να ωφεληθούμε όλοι.

#4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Δεν αναπαράγω έτοιμο υλικό που υπάρχει σε όλα τα απλά βιβλία μαθηματικών.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Με όλο το σεβασμό πιστεύω ότι είστε σε λάθος δρόμο.

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, Μαθηματικά σημαίνει σκέφτομαι, βρίσκω τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα, αυτοσχεδιάζω, συνθέτω για να ρίξω το θηρίο στο καναβάτσο !

Προτείνετε ασκήσεις και λύστε ασκήσεις για να ωφεληθούμε όλοι.

Για όποιον μαθητή ενδιαφέρεται, υλοποιώντας την πρόταση του Ορέστη, μεταφέρω τη συζήτηση στη Γ΄ Γυμνασίου (ΕΔΩ).

Christos.N · #6

Θα διαφωνήσω με την τοποθέτηση του Ορέστη σε αυτό το thread , επαναλαμβάνω σε αυτό το thread , για δύο λόγους :

1ος) Η συστηματοποίηση είναι βασικό στοιχείο της μαθηματικής γνώσης και καλό είναι να παράγεται, αν κάποιος ήδη έχει καταφέρει την ταξινόμηση , μπράβο του. Δεν υπάρχει κανένας όμως λόγος να κρίνει την προσπάθεια κάποιου άλλου είτε αυτή είναι διερευνητική είτε στηρίζεται σε κάποια ανασφάλεια που δεν την έχει, δηλαδή την έχει ξεπεράσει. Στην τελική ας μην ασχοληθεί καθόλου με αυτό το thread. Αυτή η κίνηση (η τελευταία ) από μόνη της είναι ότι πιο δημοκρατικό μπορεί να κάνει κάποιος.

Υπάρχουν βέβαια και τα προσωπικά μηνύματα .

2ος) Αυτός που έχει ξεπεράσει ένα "επίπεδο" στην γνώση σε σχέση με κάποιον άλλον καλό θα ήταν να δείξει ανοχή και υπομονή, είναι δεοντολογικό περισσότερο , δηλαδή να μην ξεχνάμε τις δικές μας δυσκολίες όταν φτάσαμε σε εκείνο ακριβώς το σημείο. Ακόμα και αν θεωρούμε ότι αυτά βρίσκονται σε όλα τα βιβλία καλό είναι να σκεφτόμαστε αν όλοι έχουν πρόσβαση σε αυτά. Νομίζω ότι το

μπορεί να παίξει ένα θεμελιώδη ρόλο σε αυτό, δηλαδή να μπορέσω διερευνήσω τι άλλο υπάρχει.

Τέλος αν θελήσω να είμαι διδακτικός σε κάποιον , με όλο το σεβασμό, ας το δείξω με τις πράξεις μου, βλέπε το φωτεινό παράδειγμα του Γιώργου Ρίζου, αν και διαφωνώ μαζί του στο ότι συνέδεσε μια δημοσίευση με μια άλλη.

Τσιαλας Νικολαος · #7

Συμφωνώ απόλυτα με τον Κύριο Ντάβα. Καλύτερα να αποφεύγουμε σχολιασμούς και ειδικά όταν πρόκειται για παιδιά που χρησημοποιούν το internet πρώτη φορά στη ζωή τους για να μπουν στο mathematica και προσπαθούν να προσαρμοστούν!!!

#8

Christos.N έγραψε: Αυτή η κίνηση (η τελευταία ) από μόνη της είναι ότι πιο δημοκρατικό μπορεί να κάνει κάποιος.

Προφανώς δεν έγινε κατανοητό αυτό που γράφει ο Ορέστης και που επικρότησα, οπότε δράττομαι της ευκαιρίας να το ξεκαθαρίσω:

Το πνεύμα αυτού που είπαμε είναι ότι το σωστό είναι να μην επαναλαμβάνουμε χιλιοειπωμένα θέματα, που υπάρχουν με μεγάλη ευκρίνεια και σαφήνεια στα ευπρόσιτα βιβλία.

Η αληθινή βοήθεια στον μαθητή είναι να πάμε ένα βήμα παραπέρα. Μέλημά μας είναι να μάθει κάτι καινούργιο ο μαθητής. Αν ξαναλέμε τα ίδια, δεν ξέρω αν τον βοηθάμε. Μπορεί να κάνω λάθος, αλλά ο σκοπός μου είναι να μάθει κάτι από το φόρουμ, όχι να καρκινοβατεί.

Οπότε αυτό που προτέπω, παράλληλα με τον Ορέστη, είναι να δούμε ταυτότητες λίγο πιο πέρα από τις πασίγνωστες. Έτσι, για να βοηθήσουμε τον μαθητή. Τίποτα άλλο.

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ειδικά όταν πρόκειται για παιδιά που χρησημοποιούν το internet πρώτη φορά στη ζωή τους για να μπουν στο mathematica και προσπαθούν να προσαρμοστούν!!!

Πραγματικά δεν καταλαβαίνω το σχόλιο. Δηλαδή η προτροπή για νέες ταυτότητες, παρακάτω από το Σχολικό, συγκρούεται με την έλλειψη εξοικείωσης με το ιντερνέτ; Θα έλεγα, έτερον-εκάτερον.

Μέλημά μας ως Δάσκαλοι είναι να διδάξουμε και σωστή χρήση του ιντερνέτ και, παράλληλα, κάτι καλό στα Μαθηματικά. Αν άθελά μας δίνουμε στον μαθητή τα ίδια και τα ίδια, δεν είμαι τόσο βέβαιος ότι η μεταλαμπάδευση γνώσης που πρέπει να μας χαρακτηρίζει είναι η ΒΕΛΤΙΣΤΗ.

Christos.N · #9

Όσο αφορά την κατανόηση κάποιας θέσης θεωρώ ότι είμαι νοητικά επαρκής για να αντιληφθώ και αυτό που γράφεται και το πλαίσιο στο οποίο γράφεται και αυτό που συμφράζεται και αυτό που αποπνέει. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση είτε σιωπώ μέχρι να το αντιληφθώ είτε ρωτώ για να μάθω καλύτερα.
Το θέμα με τα μαθηματικά είναι αυτό ακριβώς , είναι άχρονα για αυτόν που τα αντιμετωπίζει για πρώτη φορά και σίγουρα πρωτόγνωρα. Αν θελήσουμε να γράψουμε μόνο πρωτότυπα και όχι χιλιοειπωμένα θέματα οι συνολικές δημοσιεύσεις , που το

θεωρεί καμάρι του -και συμφωνώ απόλυτα ότι είναι επίτευγμα από το κομμάτι της μαθηματικής κοινότητας που τροφοδοτεί με χρόνο, κόπο λόγω των περιορισμών , απλόχερα , δημοκρατικά, που δίνει υπόσταση στο χώρο αυτό- τότε οι δημοσιεύσεις θα μειωθούν κατά 90%. Δεν πείθομαι λοιπόν από τα παραπάνω επιχειρήματα.
Βοήθεια σε ένα μαθητή μπορεί να δοθεί με διάφορους τρόπους, τώρα αν κάποιος ζητάει δεκανίκια , θα συμφωνήσετε μαζί μου ότι το

δεν τα παρέχει αυτά και μάλιστα δεν θα μπορούσε να το κάνει για δύο βασικούς λόγους. Ο οποιοσδήποτε που γράφει εδώ πρέπει να γράψει με μια αρκετά ανεβασμένη στάθμη (η οποία ξεχωρίζει αισθητικά άμεσα) άρα εκ των προτέρων έχει καλύψει κάποιο βασικό επίπεδο γνώσης και το επίπεδο των συνομιλητών του έχει συνδιαμορφωθεί από τον χρόνο λειτουργίας του ιστότοπου και έχει παράγει έναν άλλο κώδικα. Δεν συμβαίνει όμως κάτι τέτοιο σε αυτήν την περίπτωση που έχουμε ως αφορμή.
Η εξοικείωση της χρήσης του ίντερνετ δεν είναι η πληκτρολόγηση, είναι και η εύστοχη αναζήτηση της πληροφορίας που επιθυμώ. Για ατόν τον λόγο αν μου φαίνεται κάτι νοθρό που ανέβασε κάποιος σε αυτόν τον ιστότοπο και μπω στην διαδικασία να τον βοηθήσω, ας κάνω το απλούστερο π.χ. δες εδώ, δηλαδή να καθοδηγήσω κάποιον στην αναζήτηση της πληροφορίας που ψάχνει κάπου αλλού.
Τέλος αν θέλουμε να στρέψουμε την κατεύθυνση σε κάτι , ως δάσκαλοι, ένα είναι το όπλο μας: Το στήσιμο του επόμενου προβλήματος.

Ορέστης Λιγνός · #10


Από την ηλικία των 6 άρχισα να έχω αρκετές απορίες και πολλές φορές αναρωτιόμουν
γιατί οι άνθρωποι διαφωνούν ; Mα είναι προφανές πιο είναι το σωστό. Γιατί λοιπόν μερικοί
αναλαμβάνουν την υπεράσπιση δήθεν ανυπεράσπιστων και αθώων και κάνουν φιλότιμες
προσπάθειες για να διαφωνήσουν μόνο και μόνο για να διαφωνήσουν και να προστατέψουν τάχα τα παιδιά από τους λύκους !!

Γράφω για ένα θέμα από τα απομνημονεύματα του πατέρα μου για να δηλώσω
γιατί προέτρεψα τα παιδιά να κάνουν σωστά μαθηματικά και να μην είναι στο ΛΑΘΟΣ.

«Όταν ήμουν 4 χρονών ο μπαμπάς μου μού έφερε ένα σετ μαρκαδόρων.
Μου είπε «Θανασάκη πάρτους και αυτοσχεδίασε, ζωγράφισε δείξε τι ξέρεις να κάνεις»
Άρχισα λοιπόν να διευρευνώ και να ετοιμάζω το μεγάλο μου έργο.

Στην αρχή ζωγράφισα όλα τα τετράδια αλλά δεν έμεινα ικανοποιημένος ήθελα κάτι πιο εντυπωσιακό .
Σκέφτηκα να η ευκαιρία πήγα στην τραπεζαρία και έκανα το τραπεζομάντηλο όνειρο !
Του έβαλα μερικές πάπιες μια θάλασσα, ήταν τέλειο !

Αλλά και πάλι δεν ένοιωθα πλήρης, ήθελα κάτι πιο εντυπωσιακό.
Και τότε ήρθε η μεγάλη ιδέα. Τον τοίχο γιατί όχι. Όρμησα πάνω σε μία καρέκλα και άρχισα σαν τον Μιχαήλ Άγγελο να φτιάχνω την Καπέλα Σιξτίνα μου.

Μέσα σε 2 ώρες είχα μετατρέψει όλους τους τοίχους του σαλονιού σε πινακοθήκη !!
Κάποια στιγμή έρχεται ο πατέρας με τη μάνα μου για να δουν τι έχω κάνει.

Και φυσικά τρελάθηκαν. Ο πατέρας μου είναι από τότε με εγκεφαλικό και η μάνα μου
έπαθε πάρεση προσωπικού (στράβωσε η αριστερά πλευρά του προσώπου της). »

Και ρωτώ εγώ ο Ορέστης, δεν θα πρέπει οι γονείς του μικρού Θανασάκη να του πουν ότι είναι ΛΑΘΟΣ και θα πρέπει να ζωγραφίζει σε πιο κατάλληλους χώρους.

Θα πρέπει για να μην τον πληγώσουν να τον αφήσουν τα ζωγραφίζει όλο το σπίτι;
ΛΑΘΟΣ ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΛΑΘΟΣ. Όταν κάποιος είναι λάθος πρέπει να μάθει να στρίβει
για το καλό του , δεν είναι υποτιμητικό να παραδέχεσαι ότι είσαι λάθος όταν
μάλιστα τα επιχειρήματα είναι ορατά και κατανοητά από όλους.

Δεν θέλω να το αναλύσω άλλο και να γράφω για πράγματα που δεν είναι μαθηματικά.
Αλλά με πνίγει το δίκιο μου και αν και δεν ήθελα να το πω θα το κάνω για να δείξω πόσο
άδικος είναι ο ΚΥΡΙΟΣ! που μιλάει για προσωπικά μηνύματα και περί δημοκρατίας…

Εγώ ΚΥΡΙΕ! καλωσόρισα τον Νικόλα με το που γράφτηκε στο mathematica.

Tου έστειλα μαθηματικό υλικό και τον παρότρινα να με «ενοχλεί» όταν χρειάζεται βοήθεια.
Δημοσίευσα μια άσκηση «μαγειρεύουμε με εξισώσεις» την έβαλα μόνο και μόνο για αυτόν.
Δημοσίευσα δεύτερη άσκηση «τέλεια τετράγωνα» πάλι για εκείνον για να του φύγει το
τρακ ,να λυθεί να πάρει θάρρος.

Μετά από αυτά και αφού έβλεπα ότι είναι λάθος του επεσήμανα ποιος είναι ο σωστός δρόμος !

Eγώ λοιπόν ΚΥΡΙΕ ! έχω στείλει τα προσωπικά μου μηνύματα και σκοπός μου δεν είναι πότε να προσβάλω τον οποιονδήποτε ούτε να το αποθαρρύνω.

Ως εδώ όμως ας γυρίσουμε τώρα στα μαθηματικά !!

Με οργή Ορέστης

Υ.Γ. Αν θέλει ο Νικόλας για τους κακόπιστους ας βγει να με επιβεβαιώσει.

#11

Έχουν ακουστεί οι διάφορες απόψεις για το αν σωστά άνοιξε το θέμα ή όχι. Ας μείνουμε μέχρι εδώ. Δεν τίθεται θέμα αμφισβήτησης για τα προσωπικά μηνύματα που ανταλλάγησαν μεταξύ του Νικόλα και του Ορέστη.

Το θέμα κλειδώνεται.

Ταυτότητες

Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Re: Ταυτότητες

Μέλη σε σύνδεση