Επιλογή Αριθμών.
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
Επιλογή Αριθμών.
Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε αριθμούς από το σύνολο ώστε κάθε αριθμός να απέχει τουλάχιστον από έναν άλλο;
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Μαρ 15, 2017 7:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Βελτίωση latex
Λόγος: Βελτίωση latex
Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Επιλογή Αριθμών.
Η επιλογή αντιστοιχεί 1-1 σε τυχαία επιλογή αριθμών από ένα σύνολο αριθμών και στη συνέχεια "εισαγωγή" ακόμα αριθμών (ενός αμέσως μετά από κάθε έναν από τους πρώτους επιλεγέντες) έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η απόσταση.
Έτσι, ο αριθμός είναι .
Έτσι, ο αριθμός είναι .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Επιλογή Αριθμών.
[quote="dement"]Η επιλογή αντιστοιχεί 1-1 σε τυχαία επιλογή αριθμών από ένα σύνολο αριθμών και στη συνέχεια "εισαγωγή" ακόμα αριθμών (ενός αμέσως μετά από κάθε έναν από τους πρώτους επιλεγέντες) έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η απόσταση.
Έτσι, ο αριθμός είναι . [/quote]
Το εχω συναντήσεις αρκετές φορές μα δεν το καταλαβαϊνω. Και επειδή το ειναι για να μαθαίνουμε θα μπορούσατε να μου εξήγησε τι εννοείται στην σημειωμένη φράση;
Έτσι, ο αριθμός είναι . [/quote]
Το εχω συναντήσεις αρκετές φορές μα δεν το καταλαβαϊνω. Και επειδή το ειναι για να μαθαίνουμε θα μπορούσατε να μου εξήγησε τι εννοείται στην σημειωμένη φράση;
Re: Επιλογή Αριθμών.
Έστω ότι θέλω (για απλούστευση) να επιλέξω από αριθμούς (με τον περιορισμό). Αντί αυτού επιλέγω χωρίς περιορισμό από αριθμούς.
Στη συνέχεια επιτυγχάνω 1-1 αντιστοίχιση εισάγοντας ακόμα έναν αριθμό ανάμεσα στούς επιλεγέντες. Έστω επιλεγμένος και μη επιλεγμένος αριθμός. Τότε:
αντιστοιχεί στο
στο
στο
στο
στο
και ούτω καθεξής...
Στη συνέχεια επιτυγχάνω 1-1 αντιστοίχιση εισάγοντας ακόμα έναν αριθμό ανάμεσα στούς επιλεγέντες. Έστω επιλεγμένος και μη επιλεγμένος αριθμός. Τότε:
αντιστοιχεί στο
στο
στο
στο
στο
και ούτω καθεξής...
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Επιλογή Αριθμών.
Είναι αρκετά σημαντική άσκηση μιας και τέτοιες απαριθμήσεις με διάφορες παραλλαγές εμφανίζονται πολύ συχνά ως κομμάτια ασκήσεων.
Αν και το έχει καλύψει ο Δημήτρης, ας το δούμε και ελάχιστα διαφορετικά:
Θα αποφασίσουμε πόσους αριθμούς θα αφήσουμε πριν τον πρώτο αριθμό, πόσους μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου, κ.τ.λ. μέχρι το πόσους αριθμούς θα αφήσουμε από τον πέμπτο και μετά. Ας γράψουμε για αυτούς τους αριθμούς. Τότε έχουμε
Επιπλέον τα είναι μη αρνητικοί ακέραιοι ενώ τα είναι θετικοί ακέραιοι. Γράφω τώρα και για .
Οπότε μένει να λύσω την εξίσωση
στους μη αρνητικούς ακεραίους. Ο τύπος για αυτό είναι . Αντί όμως να θυμόμαστε τον τύπο, είναι καλύτερα να θυμόμαστε πως προκύπτει αυτός ο τύπος. Τον εξηγώ, αρκετά αναλυτικά πιστεύω, στο λύση του Προβλήματος 4 εδώ.
Αν και το έχει καλύψει ο Δημήτρης, ας το δούμε και ελάχιστα διαφορετικά:
Θα αποφασίσουμε πόσους αριθμούς θα αφήσουμε πριν τον πρώτο αριθμό, πόσους μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου, κ.τ.λ. μέχρι το πόσους αριθμούς θα αφήσουμε από τον πέμπτο και μετά. Ας γράψουμε για αυτούς τους αριθμούς. Τότε έχουμε
Επιπλέον τα είναι μη αρνητικοί ακέραιοι ενώ τα είναι θετικοί ακέραιοι. Γράφω τώρα και για .
Οπότε μένει να λύσω την εξίσωση
στους μη αρνητικούς ακεραίους. Ο τύπος για αυτό είναι . Αντί όμως να θυμόμαστε τον τύπο, είναι καλύτερα να θυμόμαστε πως προκύπτει αυτός ο τύπος. Τον εξηγώ, αρκετά αναλυτικά πιστεύω, στο λύση του Προβλήματος 4 εδώ.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Επιλογή Αριθμών.
Μια άλλη προσέγγιση:
Αντιστοιχούμε τους αριθμούς που θα επιλέξουμε με και αυτούς που απομένουν με δημιουργώντας έναν -ψήφιο δυαδικό αριθμό με άσσους και μηδενικά, έτσι ώστε να μην έχουμε καθόλου συνεχόμενους άσσους.
Π.χ. ο αριθμός αντιστοιχεί στην επιλογή των από το αρχικό σύνολο.
Για να βρούμε τον αριθμό των τρόπων δημιουργίας ενός τέτοιου -ψήφιου αριθμού, έτσι ώστε να μην έχουμε καθόλου συνεχόμενους άσσους, εφαρμόζουμε την εξής τεχνική:
Βάζουμε στη σειρά τα μηδενικά. Αυτά οριοθετούν σημεία όπου μπορούμε να τοποθετήσουμε άσσο ( σημεία ανάμεσα στα μηδενικά, σημείο αριστερά από το πρώτο μηδενικό και σημείο δεξιά από το τελευταίο μηδενικό):
Στη συνέχεια απλώς επιλέγουμε από αυτά τα σημεία για να τοποθετήσουμε άσσο. Άρα έχουμε τρόπους.
Με το ίδιο σκεπτικό για να δημιουργήσουμε έναν δυαδικό αριθμό με μη συνεχόμενους άσσους και μηδενικά υπάρχουν τρόποι.
Αντιστοιχούμε τους αριθμούς που θα επιλέξουμε με και αυτούς που απομένουν με δημιουργώντας έναν -ψήφιο δυαδικό αριθμό με άσσους και μηδενικά, έτσι ώστε να μην έχουμε καθόλου συνεχόμενους άσσους.
Π.χ. ο αριθμός αντιστοιχεί στην επιλογή των από το αρχικό σύνολο.
Για να βρούμε τον αριθμό των τρόπων δημιουργίας ενός τέτοιου -ψήφιου αριθμού, έτσι ώστε να μην έχουμε καθόλου συνεχόμενους άσσους, εφαρμόζουμε την εξής τεχνική:
Βάζουμε στη σειρά τα μηδενικά. Αυτά οριοθετούν σημεία όπου μπορούμε να τοποθετήσουμε άσσο ( σημεία ανάμεσα στα μηδενικά, σημείο αριστερά από το πρώτο μηδενικό και σημείο δεξιά από το τελευταίο μηδενικό):
Στη συνέχεια απλώς επιλέγουμε από αυτά τα σημεία για να τοποθετήσουμε άσσο. Άρα έχουμε τρόπους.
Με το ίδιο σκεπτικό για να δημιουργήσουμε έναν δυαδικό αριθμό με μη συνεχόμενους άσσους και μηδενικά υπάρχουν τρόποι.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Σάβ Μαρ 18, 2017 3:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης