Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 111.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 923 φορές

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά.

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο, το σημείο

μέσο της

και
το σημείο

μέσο του μικρού τόξου $A\Gamma$ . Αν $P\equiv MN\cap A\Gamma$ ,
αποδείξτε την ισοδυναμία των τριγώνων AMP

και $P\Gamma N$ .

Christos.N · #2

Όπως βρίσκονται στο σχήμα.

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} {\rm A}{\rm M} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} \Rightarrow \angle {\rm A}{\rm M}\Gamma = {90^o}\\ \left. \begin{array}{l} \angle {\rm N}{\rm A}\Gamma = \angle {\rm N}{\rm B}\Gamma = {30^o}\\ \angle \Gamma {\rm A}{\rm M} = {60^o} \end{array} \right\} \Rightarrow \angle {\rm N}{\rm A}{\rm M} = \angle {\rm N}{\rm A}\Gamma + \angle \Gamma {\rm A}{\rm M} = {90^o} \end{array} \right\} \Rightarrow {\rm A}{\rm N}//{\rm M}\Gamma \left( 1 \right)\\ \\ \left( 1 \right) \Rightarrow \left( {{\rm A}{\rm M}\Gamma } \right) = \left( {{\rm N}{\rm M}\Gamma } \right) \Rightarrow \left( {{\rm A}{\rm M}\Gamma } \right) - \left( {{\rm M}{\rm P}\Gamma } \right) = \left( {{\rm N}{\rm M}\Gamma } \right) - \left( {{\rm M}{\rm P}\Gamma } \right) \Rightarrow \left( {{\rm A}{\rm M}{\rm P}} \right) = \left( {{\rm N}{\rm P}\Gamma } \right) \end{array}}$

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:111.png

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά.

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο, το σημείο μέσο της και
το σημείο μέσο του μικρού τόξου $A\Gamma$ . Αν $P\equiv MN\cap A\Gamma$ ,
αποδείξτε την ισοδυναμία των τριγώνων και $P\Gamma N$ .

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Αν

είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε $R\sqrt 3$ θα είναι η πλευρά του ισοπλεύρου. Αρκεί να δείξω ότι (AMN)=(ANC)

: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

$\displaystyle{(AMN) = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{{R\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt 3 \cdot \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot NK = (ANC)}$

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:111.png

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά.
Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο, το σημείο μέσο της και το σημείο μέσο του μικρού τόξου $A\Gamma$ . Αν $P\equiv MN\cap A\Gamma$ , αποδείξτε την ισοδυναμία των τριγώνων και $P\Gamma N$ .

$\left\{ \begin{gathered} CM \bot AB \\ NA \bot AB \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow CM\parallel NA \Rightarrow$ $\left( {MAN} \right) = \left( {CAN} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{ - \left( {PAN} \right)} \boxed{\left( {AMP} \right) = \left( {PCN} \right)}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#5

Επειδή $\widehat {NAB} = 90^\circ$ , γιατί βαίνει σε ημικύκλιο και $CN \bot AB$ ως ύψος σε ισόπλευρο

τρίγωνο θα είναι AN//MC

. Στο τραπέζιο . ANCM

τα τρίγωνα $\vartriangle MAN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CAN$

έχουν κοινή βάση

και ίσα ύψη προς αυτή άρα :

$(MAN) = (CAN) \Leftrightarrow (MAP) + (PAN) = (CPN) + (PAN) \Leftrightarrow (MAP) = (CPN)$ .

: ισόπλευρο τρίγωνο 8.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #6

Υπολογίστε επίσης το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

, συναρτήσει
της πλευράς $\alpha$ του ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ , που φαίνεται στο σχήμα του Γιώργου.

Ορέστης Λιγνός · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Υπολογίστε επίσης το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος , συναρτήσει
της πλευράς $\alpha$ του ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ , που φαίνεται στο σχήμα του Γιώργου.

Καλησπέρα!

Φέρνουμε την $ML \perp BK$ .

Προφανώς, $ML=\dfrac{AK}{2}=\dfrac{a}{4}, \, BL=KL$ .

Είναι $\widehat{ANK}=\widehat{ANB}=\widehat{ACB}=60^0$ .

Άρα, στο ορθογώνιο AKN

,

$\displaystyle \tan \widehat{ANK}=\dfrac{AK}{KN} \Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{KN}=\sqrt{3} \Leftrightarrow KN=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ .

Ακόμη, $KL=\dfrac{BK}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ .

Άρα, $LN=KL+KN=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}$ .

Από τα όμοια $KPN, \, LMN$ παίρνουμε $\dfrac{KP}{ML}=\dfrac{KN}{LN} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{PK=\dfrac{a}{10}}$ .

#8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Υπολογίστε επίσης το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος , συναρτήσει
της πλευράς $\alpha$ του ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ , που φαίνεται στο σχήμα του Γιώργου.

: ισόπλευρο τρίγωνο 8.png (29.57 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Έστω ακόμα $OA = R \Rightarrow a = R\sqrt 3$ προφανώς είναι :

$\boxed{MT = \frac{{3R}}{4}\,\,,\,\,TK = \frac{a}{4}\,\,,\,\,NK = \frac{R}{2}}$

Επειδή $\vartriangle TMP \approx \vartriangle KNP$ θα έχω : $\dfrac{{PK}}{{PT}} = \dfrac{{NK}}{{MT}} \Rightarrow \dfrac{{PK}}{{TK}} = \dfrac{{NK}}{{NK + MT}}$ και

προκύπτει : $\boxed{PK = \frac{a}{{10}}}$

#9

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Υπολογίστε επίσης το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος , συναρτήσει
της πλευράς $\alpha$ του ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ , που φαίνεται στο σχήμα του Γιώργου.

$\displaystyle{(AMP) = (PCN) \Leftrightarrow \frac{a}{2} \cdot AP\sin {60^0} = \frac{R}{2} \cdot PC \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{4}AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}PC \Leftrightarrow AP = \frac{{2PC}}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{PC=\frac{3a}{5}}$

$\displaystyle{PK = PC - \frac{a}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{PK=\frac{a}{10}}$

Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 8.

Μέλη σε σύνδεση