Η «Τεθλασμένη»

harrisp · #1

Ο Βαγγέλης παίρνει ένα μολύβι και μια κόλλα χαρτί και χωρίς να αφήσει το μολύβι τραβάει μια «τεθλασμένη» γραμμή. Αν στην τελική «τεθλασμένη» έχει αλλάξει την πορεία της γραμμής

φορές τότε να βρείτε το μέγιστο πλήθος σημείων τομής της «τεθλασμένης» με τα διάφορα κομμάτια της.

: Στιγμιότυπο 2017-03-25, 7.46.36 μ.μ..png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 1863 φορές

ΠΡΟΣΟΧΗ: Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής οπότε μπορεί να είναι μεγάλη πατάτα!

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Χάρη!

Αν έχουμε

''αλλαγή κατεύθυνσης'', έχουμε

γραμμές.

Αν έχουμε

''αλλαγές κατεύθυνσης'', έχουμε

γραμμές.

Άρα, γενικά, για

αλλαγές ''κατεύθυνσης'', έχουμε n+1

γραμμές.

Αφού θέλουμε το μέγιστο πλήθος σημείων τομής, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν

γραμμές που να συντρέχουν και ότι ανά δύο οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι έχουμε το πολύ $\dfrac{n(n-1)}{2}$ (για ευθείες) (1).

Έστω ότι ισχύει η (1).

Θα αποδείξουμε λοιπόν ότι ισχύει το εξής: Αν έχουμε n+2

ευθείες, έχουμε το πολύ $\dfrac{n(n+1)}{2}$ σημεία τομής.

Η n+2

-στη ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες n+1

σε

σημεία.

Όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε το

από αυτά, το σημείο όπου έγινε η τελευταία αλλαγή κατεύθυνσης.

Άρα, έχουμε

σημεία τομής, συνολικά $\dfrac{n(n-1)}{2}+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ο.ε.δ.

Άρα, έχουμε το πολύ $\boxed{\dfrac{n(n-1)}{2}}$ σημεία τομής.

harrisp · #3

Γειά σου Ορέστη και Χρόνια Πολλά!

Η λύση σου είναι άψογη!

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Γεια σου Χάρη!

Αν έχουμε ''αλλαγή κατεύθυνσης'', έχουμε γραμμές.

Αν έχουμε ''αλλαγές κατεύθυνσης'', έχουμε γραμμές.

Άρα, γενικά, για αλλαγές ''κατεύθυνσης'', έχουμε γραμμές.

Αφού θέλουμε το μέγιστο πλήθος σημείων τομής, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν γραμμές που να συντρέχουν και ότι ανά δύο οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι έχουμε το πολύ $\dfrac{n(n-1)}{2}$ (για ευθείες) (1).

Έστω ότι ισχύει η (1).

Θα αποδείξουμε λοιπόν ότι ισχύει το εξής: Αν έχουμε ευθείες, έχουμε το πολύ $\dfrac{n(n+1)}{2}$ σημεία τομής.

Η -στη ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες σε σημεία.

Όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε το από αυτά, το σημείο όπου έγινε η τελευταία αλλαγή κατεύθυνσης.

Άρα, έχουμε σημεία τομής, συνολικά $\dfrac{n(n-1)}{2}+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ο.ε.δ.

Άρα, έχουμε το πολύ $\boxed{\dfrac{n(n-1)}{2}}$ σημεία τομής.

Λίγο διαφορετικά:

Μπορούμε να πούμε ότι όλα τα n+1

ευθύγραμμα τμήματα τέμνονται μεταξύ τους, άρα έχουμε $\binom{n+1}{2}$ διαφορετικά ζευγάρια που δίνουν το πολύ

σημείο τομής. Επομένως έχουμε το πολύ $\binom{n+1}{2}-n=\dfrac{n(n-1)}{2}$ σημεία τομής (αφαιρούμε τα σημεία όπου απλώς άλλαξε η πορεία και δεν το θεωρούμε σημείο τομής).

Η «Τεθλασμένη»

Η «Τεθλασμένη»

Re: Η «Τεθλασμένη»

Re: Η «Τεθλασμένη»

Re: Η «Τεθλασμένη»

Μέλη σε σύνδεση