άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

mathxl · #1

Ένα επιμορφωτικό με επάναληπτικό χαρακτήρα θέμα.

Έστω η συνάρτηση
$\displaystyle{ f(x) =\left\{\begin{array}{cc}0 &\text{if}\, x\leq 0\\ e^{-1/x^{2}}&\text{if}\, x > 0\\ \end{array}\right }$
Να αποδείξετε ότι η f είναι άπειρα φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι $f^{(n)}(0) = 0$ για κάθε $n\geq 1$ .
Είναι οι άπειρα παραγωγίσιμες συναρτήσεις (δέχονται παραγώγους κάθε τάξης στο R), αναλυτικές στο R;
Mια από τα ίδια στο C;

Καραδήμας · #2

Με απλή επαγωγή δείχνεις ότι για x>0

ισχύει $f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}$ με το P_n

πολυώνυμο (βαθμού

ή κάτι τέτοιο). Μετά χρησιμοποιείς το $\lim\limits_{t\to +\infty }\frac{tP_n(t)}{e^{t^2}}=0$ και την αλλαγή μεταβλητής $t=\frac{1}{x}$ για να δεις ότι $f^{(n+1)}(0)=0$ . Για x<0

είναι φανερό ότι $f^{(n)}(x)=0$ . Αναλυτική δεν είναι γιατί θα γραφόταν $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}$ σε κάποιο $(-\epsilon ,\epsilon )$ και θα μηδενιζόταν εκεί.

mathxl · #3

Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών; Φαντάζομαι ότι τότε ο τύπος είναι για z=0 f(0)=0 και ειδάλλως f(z)=e^(-1/z^2)

#4

mathxl έγραψε:Ένα επιμορφωτικό με επάναληπτικό χαρακτήρα θέμα.

Έστω η συνάρτηση
$\displaystyle{ f(x) =\left\{\begin{array}{cc}0 &\text{if}\, x\leq 0\\ e^{-1/x^{2}}&\text{if}\, x > 0\\ \end{array}\right }$
Να αποδείξετε ότι η f είναι άπειρα φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι $f^{(n)}(0) = 0$ για κάθε $n\geq 1$ .
Είναι οι άπειρα παραγωγίσιμες συναρτήσεις (δέχονται παραγώγους κάθε τάξης στο R), αναλυτικές στο R;
Mια από τα ίδια στο C;

Αξίζει να δείτε παλαιότερη συζήτηση εδώ σχετικά με την συνάρτηση αυτή. Δείτε το όμως από την αρχή του thread.

Μ.

Καραδήμας · #5

mathxl έγραψε:Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών; Φαντάζομαι ότι τότε ο τύπος είναι για z=0 f(0)=0 και ειδάλλως f(z)=e^(-1/z^2)

Για $t\in {\mathbb R}$ με $t\to 0^+$ έχεις $f(it)=e^{\frac{1}{t^2}}\to +\infty$ .

Σημ.: Ναι, είναι ωραίο θέμα αυτό με το πολυώνυμο, υπάρχουν και παραλλαγές του. Με πιο ασθενείς υποθέσεις έχεις το ίδιο συμπέρασμα. Μπορεί να προσθέσω μερικές εκεί.

#6

mathxl έγραψε:Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών;

Στους μιγαδικούς ισχύει ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα

1) Η

είναι παραγωγίσιμη.
2) Η

είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη.
3) Η

είναι αναλυτική

Η συνάρτηση που έβαλες, όπως έχει δείξει και ο Καραδήμας δεν είναι καν συνεχής. Πόσο μάλλον παραγωγίσιμη.

άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Μέλη σε σύνδεση