Μίξη

erxmer · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g

με

.

1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )}$

3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της

στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

και $f^{−1}$ .

4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{e^xf(x)},x>0}$ , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο $x_0 \in (1, 3)$ , με
$\displaystyle{h(x_0)=-\frac{x_0^2+2}{x_0^3e^{x_0}}}$

5) Αν $\displaystyle{I_n=\int_{-1}^{1}\left ( 1-f(x) \right )^ndx}$ , νδο $\displaystyle{I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, n \geq 2}$

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις με .

1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )}$

3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και $f^{−1}$ .

4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{e^xf(x)},x>0}$ , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο $x_0 \in (1, 3)$ , με
$\displaystyle{h(x_0)=-\frac{x_0^2+2}{x_0^3e^{x_0}}}$

5) Αν $\displaystyle{I_n=\int_{-1}^{1}\left ( 1-f(x) \right )^ndx}$ , νδο $\displaystyle{I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, n \geq 2}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα...

1) Η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $M(x_{1} , f(x_{1}))$ είναι : $y=2x_{1} x - x_{1}^2 .$
Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{g}$ στο σημείο $N(x_{2} , f(x_{2}))$ είναι : $y=\dfrac{1}{x_{2}} x +ln x_{2} -1 .$

Για να είναι κοινή εφαπτομένη πρέπει να ισχύουν: $2x_{1} = \dfrac{1}{x_{2}}$ (1) και $-x_{1}^2 = ln x_{2}-1$ (2).
Αντικαθιστώντας στην (2) την (1) προκύπτει: $x_{2}^2 -ln x_{2} -ln 2 -1 =0 .$

Θεωρώντας, τώρα, την h(x) = x^2 -ln x -ln 2 -1

έχουμε : $h'(x)= 2x-\dfrac{1}{x}= \dfrac{(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)}{x} .$

Από τα παραπάνω προκύπτει:
Για $x\in (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \,\,\,\,\,\ h'(x)<0$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ .

Για $x\in (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \,\,\,\,\,\ h'(x)>0$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$ .

Επίσης έχουμε: $h \left ( \frac{1}{e^2} \right ) =\dfrac{1}{e^2}+1-ln 2$ , $h\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}ln 2 <0$ και h(e)=e^2-ln 2 - 2 >0

.

Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την

στο $\left [ \dfrac{1}{e^2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ]$ .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της

στο $\left ( \dfrac{1}{e^2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )$ , η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική στο $\left ( 0 , \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ]$ .

Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την

στο $\left [ \dfrac{\sqrt{2}}{2} , e\right ]$ .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της

στο $\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} , e \right )$ , η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική στο $\left [ \dfrac{\sqrt{2}}{2} , +\infty \right )$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Κατά τα γνωστά είναι $g^{-1}(x) = e^x .$

Επομένως $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )} =$ $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( \dfrac{1}{e^x}\cdot sin\frac{1}{x} \right )} = \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( \dfrac{sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{xe^x} \right )} =0$ .

Το παραπάνω ισχύει διότι :
α) Θέτοντας $u=\dfrac{1}{x}$ είναι :
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }u= 0$ , οπότε $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\dfrac{sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{u \to 0}\dfrac{sin u}{u} = 1$

και εφαρμόζοντας κανόνα de L' Hospital ( μορφή: $\dfrac{-\infty}{+\infty})$ έχουμε:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty } (xe^x)= \lim_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{x}{e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{1}{-e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } (-e^{x}) = 0.$

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις με .

1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.

2) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left ( g^{-1}(-x)sin\frac{1}{x} \right )}$

3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και $f^{−1}$ .

4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{e^xf(x)},x>0}$ , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο $x_0 \in (1, 3)$ , με
$\displaystyle{h(x_0)=-\frac{x_0^2+2}{x_0^3e^{x_0}}}$

5) Αν $\displaystyle{I_n=\int_{-1}^{1}\left ( 1-f(x) \right )^ndx}$ , νδο $\displaystyle{I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, n \geq 2}$

...συμπληρώνοντας την λύση του φίλου μου του Σταμάτη....

3) Δεν μπορώ να καταλάβω τι θέλει ο δημιουργός …είδομεν

4) Είναι η $h(x)=\frac{1-f(x)g(x)}{{{e}^{x}}f(x)}=\frac{1-{{x}^{2}}\ln x}{{{e}^{x}}{{x}^{2}}},x>0$ παραγωγίσιμη με

${h}'(x)=\frac{{{x}^{3}}\ln x-{{x}^{2}}-x-2}{{{x}^{3}}{{e}^{x}}}=\frac{\ln x-\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}}}{{{e}^{x}}},\,\,x>0$

Τώρα η συνάρτηση $\phi (x)=\ln x-\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}},\,\,x>0$ που είναι συνεχής με

$\phi (1)=-4<0$ και $\phi (3)=\ln 3-\frac{14}{27}>0$ αφου το $\ln 3>1$ σύμφωνα με το Θ. Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα

$x_0 \in (1, 3)$ και επειδή ${\phi }'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{{{x}^{3}}}+\frac{6}{{{x}^{^{4}}}}>0,\,\,x>0$ η

$\phi$ είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ άρα και '1-1'

επομένως η ρίζα $x_0 \in (1, 3)$ μοναδική και για

$x>{{x}_{0}}\Rightarrow \phi (x)>\phi ({{x}_{0}})=0$ και για $x<{{x}_{0}}\Rightarrow \phi (x)<\phi ({{x}_{0}})=0$

άρα για την ${h}'(x)=\frac{\phi (x)}{{{e}^{x}}},\,\,x>0$ έχουμε αντίστοιχα ότι $x>{{x}_{0}}\Rightarrow {h}'(x)>h({{x}_{0}})=0$

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[{{x}_{0}},\,\,+\infty )$ και ότι για $x<{{x}_{0}}\Rightarrow {h}'(x)<h({{x}_{0}})=0$

άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,{{x}_{0}}]$ επομένως παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο $x_0 \in (1, 3)$ το

$h({{x}_{0}})=\frac{1-x_{0}^{2}\ln {{x}_{0}}}{{{e}^{{{x}_{0}}}}x_{0}^{2}}$ και επειδή

${h}'({{x}_{0}})=\frac{x_{0}^{3}\ln {{x}_{0}}-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}-2}{{{x}^{3}}{{e}^{x}}}=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}\ln {{x}_{0}}-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}-2=0$

$x_{0}^{3}\ln {{x}_{0}}-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}-2=0\Leftrightarrow -{{x}_{0}}-2={{x}_{0}}(1-x_{0}^{2}\ln {{x}_{0}})\Leftrightarrow 1-x_{0}^{2}\ln {{x}_{0}}=-\frac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}}$ θα είναι $h({{x}_{0}})=-\frac{{{x}_{0}}+2}{{{e}^{{{x}_{0}}}}x_{0}^{3}}$

5) Είναι ${{I}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-f(x) \right)}^{n}}}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n}}}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}(1-{{x}^{2}})}dx$

$=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}}dx-\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}{{x}^{2}}}dx={{I}_{n-1}}+\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n-1}}(1-{{x}^{2}}{)}'x}dx$

$={{I}_{n-1}}+\frac{1}{2n}\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( {{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n}} \right)}^{\prime }}x}dx={{I}_{n-1}}+\left[ {{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{n}}x \right]_{0}^{1}-\frac{1}{2n}{{I}_{n}}$

επομένως ισχύει ότι ${{I}_{n}}={{I}_{n-1}}-\frac{1}{2n}{{I}_{n}}\Leftrightarrow {{I}_{n}}+\frac{1}{2n}{{I}_{n}}={{I}_{n-1}}\Leftrightarrow {{I}_{n}}=\frac{2n}{2n+1}{{I}_{n-1}}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#4

3) Αυτό που κατάλαβα από την εκφώνηση (που θέλει βελτίωση )
με οδηγεί στο συνημμένο σχήμα , οπότε:
$\displaystyle{E = \int\limits_0^1 {(\sqrt x - {x^2})} dx = \left[ {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1 = \frac{1}{3}}$

Μίξη

Μίξη

Re: Μίξη

Re: Μίξη

Re: Μίξη

Μέλη σε σύνδεση