Βασική

[harrisp]

Χρωματίζουμε ολα τα σημεία του επιπεδου με χρώματα.

Να αποδειχθεί οτι υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με τις κορυφές του βαμμένες με το ίδιο χρώμα.

Edit: Ο Διονύσης μου επισήμανε λάθος στο πρόβλημα οποτε ανεβάζω ενα άλλο.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Είσαι σίγουρος για την εκφώνηση ; Εδώ φαίνεται να χωράνε πάρα πολλά!

[dement]

Υποψιάζομαι ότι η εκφώνηση είναι: Μπορούμε πάντα να...;

Κάνω λάθος, Χάρη;

[harrisp]

Υποψιάζομαι ότι η εκφώνηση είναι: Μπορούμε πάντα να...;

Κάνω λάθος, Χάρη;

Πράγματι!

Ηταν στα αγγλικα και δεν το έβρισκα και γι αυτο έβαλα ενα άλλο προβλημα...

Θα το ξανανεβάσω σε άλλο θέμα.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Θα προσπαθήσουμε να φτιάξουμε ένα παράδειγμα έτσι ώστε να μην ισχύει το ζητούμενο. Θα προσπαθούμε δηλαδή να βάφουμε τα σημεία με τα χρώματα μπλε ή κόκκινο έτσι ώστε να μην υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές τρία σημεία ιδίου χρώματος, όμως θα οδηγούμαστε σε άτοπο:

Φτιάχνουμε τα ακόλουθα ισόπλευρα τρίγωνα ( βλέπε σχήμα).

Στο τρίγωνο χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως θα τα και θα έχουν το ίδιο χρώμα, άρα τα βάφουμε με κόκκινο. Επομένως θα χρωματίζουμε το μπλε και αναγκαστικά και το μπλε. Τα και δεν γίνεται να είναι ταυτόχρονα μπλε, λόγω του . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) Τα και είναι και τα δύο κόκκινα. Αναγκαστικά λοιπόν το θα είναι μπλε. Όμως στα ισόπλευρα και πρέπει τα και αντίστοιχα να είναι μπλε. Τότε όμως θα έχουμε το που θα έχει όλα τα σημεία του μπλε.

2) Χωρίς βλάβη της γενικότητας το είναι μπλε και το είναι κόκκινο. To είναι λόγω του κόκκινο. Για παρόμοιο λόγο το είναι μπλε, ενώ το είναι κόκκινο. Λόγω των ισόπλευρων και , τα σημεία και αντίστοιχα είναι μπλε. Λόγω του ισοπλεύρου το είναι κόκκινο. Λόγω του το είναι μπλε. Τότε όμως θα έχουμε το που θα έχει όλα τα σημεία του μπλε.

Άρα ακόμη και στην χείριστη περίπτωση χρωματισμού, θα υπάρχει ένα ισόπλευρο που θα έχει όλα τα σημεία του το ίδιο χρώμα.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Γεια σου Διονύση.
Στην ουσία απέδειξες ότι αν δοθεί
υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές ιδίου χρώματος με πλευρά η .
Εχω απόδειξη (λίγο πιο απλή ) όπου αποδεικνύεται ότι
υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές ιδίου χρώματος με πλευρά η η
Αν δεν την κάνει κανείς θα την γράψω.

Συμπλ.Εκανα μια διόρθωση.Πρόσθεσα το

[Demetres]

Στο σχήμα του Διονύση ξεκινάμε χωρίς βλάβη της γενικότητας με τα κόκκινα σημεία τα οποία μας επιβάλλουν να χρωματίσουμε μπλε τα . Κοιτάζουμε το μέσο της . Αν είναι κόκκινο, τότε έχουμε δυο κόκκινα σημεία (τα ) με το μέσο τους να είναι κόκκινο. Αν είναι μπλε, τότε έχουμε δυο μπλε σημεία (τα ) με το μέσο τους να είναι μπλε.

Άρα έχουμε δυο σημεία του ιδίου χρώματος με το μέσο τους να είναι επίσης του ιδίου χρώματος. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας τα στο σχήμα του Διονύση είναι μπλε. Τότε το επιβάλλεται να είναι κόκκινο. (Από το τρίγωνο .) Τα επίσης επιβάλλεται να είναι κόκκινα από τα τρίγωνα αντίστοιχα. Αλλά τότε το έχει όλες τις κορυφές κόκκινες.

Αν ελέγξουμε αποστάσεις βρίσκουμε ότι για κάθε υπάρχει τουλάχιστον ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές του ιδίου χρώματος και πλευράς ή ή ή .

Άσκηση: Αυτό που έδειξα είναι λίγο χειρότερο αυτού που ισχυρίστηκε ο Σταύρος. Δείξτε όμως και αυτό που είναι λίγο καλύτερο: Για κάθε υπάρχει τουλάχιστον ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές του ιδίου χρώματος και πλευράς ή .

Άσκηση: Δείξτε ότι δεν υπάρχει κατ' ανάγκη ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς μήκους με όλες του τις κορυφές να είναι του ιδίου χρώματος.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Γεια σου Διονύση.
Στην ουσία απέδειξες ότι αν δοθεί
υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές ιδίου χρώματος με πλευρά η .

Αν έχω καταλάβει σωστά το σκεπτικό που έχει αναπτυχθεί σε αυτό το θέμα, τότε μάλλον έχω αποδείξει ότι υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές ιδίου χρώματος με πλευρά ή ή ή .

...είναι λίγο χειρότερο αυτού που ...

Επίσης, αν κατάλαβα σωστά, το καλύτερο ή χειρότερο αποτέλεσμα έχει να κάνει με το πλήθος των πιθανών πλευρών του ισοπλεύρου.
Δηλαδή στη λύση μου έχουμε μάλλον πιθανά μήκη πλευρών. Η λύση που έχει ο κύριος Σταύρος έχει πιθανά μήκη, άρα πρόκειται για καλύτερο αποτέλεσμα. Η πρώτη άσκηση του κυρίου Δημήτρη ζητάει πιθανά μήκη, ενώ η δεύτερη άσκηση μας λέει ότι ακόμα καλύτερο αποτέλεσμα με μόνο συγκεκριμένο μήκος δεν γίνεται.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Γράφω την λύση μου.
Στο σχήμα του Διονύση.
Εστω ότι το είναι άσπρο.
Ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα δεν έχει όλα τα σημεία του μαύρα
γιατί τότε θα υπήρχε ισόπλευρο πλευράς
Εχει ενα τουλάχιστον άσπρο έστω το .
Τα θα είναι μαύρα γιατί αλλιώς θα είχαμε ισόπλευρο πλευράς
Το θα είναι άσπρο γιατί αλλιώς το θα ήταν ισόπλευρο πλευράς
Αφου το είναι άσπρο τα θα είναι μαύρα γιατί διαφορετικά θα είχαμε ισόπλευρο
πλευράς
Αν το είναι μαύρο έχουμε το ισόπλευρο πλευράς
ενω αν είναι άσπρο έχουμε το ισόπλευρο πλευράς