Απλή!

[JimNt.]

Να βρείτε το πλήθος των θετικών ακεραίων με .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Να βρείτε το πλήθος των θετικών ακεραίων με .

Θα πρέπει όλα τα ψηφία να είναι από έως εκτός από το που πρέπει να είναι από έως .

Αρχικά θα βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης . Ισοδύναμα θα βρούμε το πλήθος των διατάξεων ενός δυαδικού αριθμού με άσσους και μηδενικά (που λειτουργούν ως διαχωριστικά των , , και . Έχουμε δηλαδή:

λύσεις.

Από αυτές θα αφαιρέσουμε όσες έχουν τουλάχιστον ένα από τα , , και να είναι . Θα πάμε με PIE:

Αν τότε θέτουμε με και η εξίσωση γίνεται:



Με το ίδιο σκεπτικό έχουμε:

λύσεις.

Αν και τότε θέτουμε και με και και η εξίσωση γίνεται:



που έχει μόνο λύση.

Αν πρέπει τουλάχιστον από , , και να είναι , τότε δεν υπάρχει καμία λύση.

Άρα το πλήθος των λύσεων ώστε τουλάχιστον ένα από τα , , και να είναι είναι:



Άρα το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης , ώστε τα , , και να είναι , είναι:



Όμως από αυτές πρέπει να αφαιρέσουμε όσες είναι το .

Θα βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης , ώστε τα , και να είναι .

Θέτουμε , και με και η εξίσωση γίνεται:



Όμως στην εξίσωση που φτάσαμε ο περιορισμός ισχύει έτσι και αλλιώς, επομένως αρκεί να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης. Έχουμε δηλαδή:

λύσεις.

Τελικά, έχουμε λύσεις.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Θα βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης , ώστε τα , και να είναι .

Θέτουμε , και με και η εξίσωση γίνεται:



Όμως στην εξίσωση που φτάσαμε ο περιορισμός ισχύει έτσι και αλλιώς, επομένως αρκεί να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης.

Δεν είναι σωστό.
π.χ είναι λύση χωρίς να πληρεί τον περιορισμό.
Εκανες κύκλο.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Θα βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης , ώστε τα , και να είναι .

Θέτουμε , και με και η εξίσωση γίνεται:



Όμως στην εξίσωση που φτάσαμε ο περιορισμός ισχύει έτσι και αλλιώς, επομένως αρκεί να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης.

Δεν είναι σωστό.
π.χ είναι λύση χωρίς να πληρεί τον περιορισμό.
Εκανες κύκλο.

Κύριε Σταύρο μάλλον δεν ήταν σαφές αυτό που έγραψα!

Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης , ώστε τα .

Με τον παραπάνω τρόπο που εφάρμοσα έφτασα στο ισοδύναμο:

Να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης , ώστε τα .

Όσο κι αν φαίνεται παράξενο, οι δύο εξισώσεις έχουν το ίδιο πλήθος λύσεων. Είμαι σίγουρος για αυτό γιατί μόλις το δοκίμασα με δύο προγραμματάκια σε γλώσσα C τα οποία και παραθέτω:

Για την πρώτη εξίσωση:

Κώδικας: Επιλογή όλων

int main()
{
    int x, y, z, p=0;
    for (x=0; x<=9; x++)
        for (y=0; y<=9; y++)
             for (z=0; z<=9; z++)
                if (x+y+z==20)
                    p++;
    printf("%d\n",p);
    return 0;
}

Για τη δεύτερη εξίσωση:

Κώδικας: Επιλογή όλων

int main()
{
    int x, y, z, p=0;
    for (x=0; x<=9; x++)
        for (y=0; y<=9; y++)
             for (z=0; z<=9; z++)
                if (x+y+z==7)
                    p++;
    printf("%d\n",p);
    return 0;
}

Γιατί όμως να προτιμήσω τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση; Ο λόγος είναι ότι η δεύτερη ισοδυναμεί με το:

Να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης .

Δεν χρειάζονται άλλοι περιορισμοί για τα (αφού κανένα από αυτά δεν πρόκειται να βγει πάνω από ) και μπορεί να λυθεί εύκολα πλέον με το γνωστό λήμμα της συνδυαστικής, δίνοντας λύσεις, όσες μου δίνουν και τα δύο παραπάνω προγράμματα.

Επίσης, με ένα τρίτο πρόγραμμα που δοκίμασα:

Κώδικας: Επιλογή όλων

int main()
{
    int a, b, c, d, p=0;

    for (a=1; a<=9; a++)
        for (b=0; b<=9; b++)
             for (c=0; c<=9; c++)
                     for (d=0; d<=9; d++)
                        if (a+b+c+d==20)
                            p++;

    printf("%d\n",p);
    return 0;
}

επαλήθευσα ότι το πλήθος των λύσεων του αρχικού προβλήματος είναι , όσες δηλαδή βρήκα στην αρχική λύση μου.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Διονύση σου ζητώ ΣΥΓΝΩΜΗ που σε έβαλα σε αυτήν την ταλαιπωρία.
Προφανώς και έχεις δίκιο.
Αν κατάλαβες νόμιζα ότι αναφέρεσαι στην αρχική εξίσωση.
Το λάθος μου είναι ότι δεν το έλεγξα με το αποτέλεσμα.