Σήμερα ήταν η δεύτερη διδακτική ώρα με τη Γ' Γυμνασίου στην τελευταία παράγραφο της Γεωμετρίας: "Νόμος των Ημιτόνων - Νόμος των Συνημιτόνων". Μία μαθήτρια (από τους 2 μαθητές σε σύνολο στη Γ' Γυμνασίου) προσπαθώντας να μου εξηγήσει γιατί χρησιμοποίησε τον νόμο των συνημιτόνων στην άσκηση 13, μου έδειξε ένα σχόλιο που έχει το σχολικό βιβλίο όταν ξεκινά τον Νόμο των Συνημιτόνων και το οποίο δεν είχα προσέξει (η υπογράμμιση δική μου):
"Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δε γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της."
Το παραπάνω θα ήταν λανθασμένο αν υπήρχε απόδειξη η οποία να αποδεικνύει το νόμο των συνημιτόνων με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων.
Επειδή το θέμα με προβλημάτισε, νομίζω ότι έχω μία απόδειξη του νόμου των Συνημιτόνων με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων (χωρίς κύκλο) την οποία και παραθέτω παρακάτω:
Σε ένα τρίγωνο
ισχύει ο νόμος των ημιτόνων δηλαδή:
. Θα αποδείξουμε ότι 
(και όμοια οι υπόλοιπες σχέσεις).Απόδειξη:
Λόγω της (1) παίρνουμε:
Οπότε
![\begin{aligned}\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu{A} &\stackrel{(2)}= t^2\left(\eta\mu^2{B}+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{B}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right) \\ &\stackrel{(\star)}{=} t^2\left[\eta\mu^2{(A+\Gamma)}+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{(A+\Gamma)}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right] \\ &= t^2\left[ \left(\eta\mu{A}\sigma\upsilon\nu{\Gamma}+\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right)^2+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{A}\sigma\upsilon\nu{\Gamma}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}-2\eta\mu^2{\Gamma}\sigma\upsilon\nu^2{A}\right] \\ &= t^2\left(\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}-\eta\mu^2{\Gamma}\sigma\upsilon\nu^2{A}\right) \\ &= t^2\left[\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}(1-\sigma\upsilon\nu^2{A})\right] \\ &= t^2\left(\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}\eta\mu^2{A}\right) \\ &= t^2\eta\mu^2{A} \\ &\stackrel{(2)}{=} \alpha^2 \end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0cd8949fcd7df7f47cadac86aecea912.png "\begin{aligned}\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu{A} &\stackrel{(2)}= t^2\left(\eta\mu^2{B}+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{B}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right) \\ &\stackrel{(\star)}{=} t^2\left[\eta\mu^2{(A+\Gamma)}+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{(A+\Gamma)}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right] \\ &= t^2\left[ \left(\eta\mu{A}\sigma\upsilon\nu{\Gamma}+\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right)^2+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{A}\sigma\upsilon\nu{\Gamma}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}-2\eta\mu^2{\Gamma}\sigma\upsilon\nu^2{A}\right] \\ &= t^2\left(\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}-\eta\mu^2{\Gamma}\sigma\upsilon\nu^2{A}\right) \\ &= t^2\left[\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}(1-\sigma\upsilon\nu^2{A})\right] \\ &= t^2\left(\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}\eta\mu^2{A}\right) \\ &= t^2\eta\mu^2{A} \\ &\stackrel{(2)}{=} \alpha^2 \end{aligned}")
: Oι τύποι αθροίσματος γωνιών είναι ανεξάρτητοι από το νόμο των συνημιτόνων οπότε δεν κάνουμε κάποιο κύκλο χρησιμοποιώντας τουςΣυνεπώς σύμφωνα με την παραπάνω απόδειξη, οποιαδήποτε άσκηση βγαίνει με το νόμο των Συνημιτόνων, βγαίνει και με το νόμο των Ημιτόνων (με άλλα λόγια ο νόμος των Συνημιτόνων είναι ένα πόρισμα του νόμου των Ημιτόνων).
Πιστεύω ότι πρέπει να γίνει κάποια αλλαγή σε επόμενη έκδοση του σχολικού βιβλίου.
Περιμένω τις παρατηρήσεις - σχόλιά σας!
Αλέξανδρος
