Σε ένα Τετράγωνο

[harrisp]

Τοποθετούμε σε ενα τετραγωνο 3 μοναδιαία τετράγωνα και 4 μοναδιαιους δίσκους.

Μπορούμε ΠΑΝΤΑ να τοποθετούμε έναν μοναδιαίο δίσκο χωρίς να επικαλυπτει τα αλλα σχήματα;

[Demetres]

Ναι! Ως υπόδειξη, κοιτάξτε που απαγορεύεται να τοποθετηθεί το κέντρο αυτού του δίσκου.

[harrisp]

Επαναφέρω !

Προσέξτε τι λέει ο κύριος Δημήτρης !

[Mihalis_Lambrou]

Τοποθετούμε σε ενα τετραγωνο 3 μοναδιαία τετράγωνα και 4 μοναδιαιους δίσκους.

Μπορούμε ΠΑΝΤΑ να τοποθετούμε έναν μοναδιαίο δίσκο χωρίς να επικαλυπτει τα αλλα σχήματα;

Μετά από λίγες μέρες απουσίας εκτός έδρας, επιστρέφω.

Αρχικά εργαζόμαστε στο εσωτερικό τεράγωνο. (Έκανα μία διόρθωση εδώ στην αρχική μου απάντηση)

Μεγαλώνουμε κάθε ένα από τους δοθέντες μοναδιαίους κύκλους προσθέτωντας στην ακτίνα του αλλά κρατώντας το ίδιο κέντρο. Επίσης μεγαλώνουμε ΅καθένα από τα τετράγωνα προθέτωντας όλα τα σημεία που απέχουν από την περίμετρό τους (γίνεται σχήμα που απότελείται από μοναδιαία τετράγωνα σαν σταυρός συν τέσσερα τεταρτοκύκλια στις γωνίες). Το συνολικό εμβαδόν των σχημάτων είναι .

Άρα τα σχήματά μας αφήνουν ακάλυπτο χώρο. Μέ κέντρο οποιοδήποτε ακάλυπτο σημείο, ο κύκλος με κέντρο το εν λόγω σημείο και ακτίνας δεν τέμνει κανένα από τα αρχικά σχήματα (διότι το κέντρο του απέχει τουλάχιστον από την περίμετρο των αρχικών σχημάτων).

Επίσης (προσθέτω στην αρχική μου απάντηση) ότι ο ίδιος κύκλος βρίσκεται μέσα στο αρχικό (απλό). ό.έ.δ.

Edit: Έκανα τις προσθήκες που σημείωσα με κόκκινο. Στην αρχική μου λύση είχα ξεχάσει ότι ο κύκλος πρέπει να είναι εξ ολοκλήρου εντός του αρχικού τετραγώνου. Εκείνος είχε μόνο το κέντρου του εντός. Τώρα όλα είναι καλά.

Ευχαριστώ τους δύο Δημήτρηδες που επεσήμαναν το σφάλμα μου (βλέπε παρακάτω ή σε Π.Μ.)

[dement]

Μιχάλη, έχω την εντύπωση ότι το υποθετικό τετράγωνο είναι απαραίτητο ώστε ο πέμπτος κύκλος να μη "χτυπάει τοίχο".

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη, έχω την εντύπωση ότι το υποθετικό τετράγωνο είναι απαραίτητο ώστε ο πέμπτος κύκλος να μη "χτυπάει τοίχο".

Δημήτρη, έχεις δίκιο.

Το ίδιο μου επεσήμανε σε Π.Μ. και ο έτερος Δημήτρης.

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΔΥΟ.

[dement]

Πάντως είναι γεγονός ότι μπορούμε και καλύτερα. Αποδείξτε ότι μπορούμε πάντα να βάλουμε και δεύτερο μοναδιαίο δίσκο.

[Demetres]

Πάντως είναι γεγονός ότι μπορούμε και καλύτερα. Αποδείξτε ότι μπορούμε πάντα να βάλουμε και δεύτερο μοναδιαίο δίσκο.

Ωραίο!

Μας μένει εμβαδόν όπου πρέπει να τοποθετήσουμε δύο σημεία τα οποία να έχουν απόσταση τουλάχιστον .

Αν τοποθετήσουμε το πρώτο σημείο αυθαίρετα, πρέπει να αφαιρέσουμε από το πιο πάνω το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ακτίνας αφού το δεύτερο σημείο απαγορεύεται να πέσει μέσα σε αυτό. Το εμβαδόν όμως είναι . Οπότε πρέπει να είμαστε πιο προσεκτικοί.

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε σχήμα εμβαδού μεγαλύτερου του έχει δύο σημεία απόστασης τουλάχιστον . Αυτό έπεται από το θεώρημα Blichfeldt. Το θεώρημα λέει ότι κάθε σχήμα εμβαδού μεγαλύτερου του περιέχει δύο σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Αλλάζοντας κλίμακα, κάθε σχήμα εμβαδού μεγαλύτερου του έχει δύο σημεία με συντεταγμένες ακέραια πολλαπλάσια του . Αυτά τα δύο σημεία έχουν απόσταση τουλάχιστον .

Θα δώσω και μια διαφορετική απόδειξη αργότερα.

[dement]

Για να το τραβήξουμε στα άκρα:

Αποδείξτε ότι σε τετράγωνο που περιέχει μοναδιαίους μη επικαλυπτόμενους κυκλικούς δίσκους μπορεί πάντα να εισαχθεί ένατος μοναδιαίος κυκλικός δίσκος μη επικαλυπτόμενος με τους άλλους.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Για να το τραβήξουμε στα άκρα:

Αποδείξτε ότι σε τετράγωνο που περιέχει μοναδιαίους μη επικαλυπτόμενους κυκλικούς δίσκους μπορεί πάντα να εισαχθεί ένατος μοναδιαίος κυκλικός δίσκος μη επικαλυπτόμενος με τους άλλους.

Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τετράγωνα.Στα τετράγωνα που βρίσκονται στις κορυφές θα υπάρχει κύκλος που θα τέμνει όλα τα τετράγωνα από τα οποία αποτελείται και δεν θα βγαίνει έξω από αυτό.
Μεταξύ δύο τετραγώνων
βρίσκεται ορθογώνιο .Αν σε ένα από αυτά δεν βρίσκεται κύκλος τότε τελειώσαμε.Αν σε όλα βρίσκετε κύκλος τότε το μεσαίο είναι κενό και βάζουμε σε αυτό τον νέο κύκλο.
κύκλος =κυκλικός δίσκος.

[dement]