Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

#1

Να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } = \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$

Για ένα 24ωρο

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } = \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$

Για ένα 24ωρο

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A=[0,4]

.

Η

, στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.

Όμως, f(4)=0

, άρα το

είναι η μοναδική ρίζα της

.

Τελικά, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x=4

.

Edit: Διόρθωση, όπως σωστά λέει ο Διονύσης.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως φθίνουσα.

Νομίζω πως είναι γνησίως αύξουσα, αλλά τελικά δεν επηρεάζεται το σκεπτικό και το αποτέλεσμα

!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Διονύση έχεις δίκιο.
Είναι γνησίως αύξουσα.
Το βλέπουμε εύκολα χρησιμοποιώντας το προφανές
η

είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν η

είναι γνησίως φθίνουσα.
Καθώς και το ανάποδο.

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.

Η μονοτονία μιας συνάρτησης δεν είναι κάτι που το δηλώνουμε έτσι απλά, χωρίς τεκμηρίωση. Σαφώς και θέλει απόδειξη!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.
Η μονοτονία μιας συνάρτησης δεν είναι κάτι που το δηλώνουμε έτσι απλά, χωρίς τεκμηρίωση. Σαφώς και θέλει απόδειξη!

Γιώργο νομίζω ότι οι πιτσιρικάδες(στο μάτι) τέτοιες αποδείξεις τις κάνουν στο μυαλό τους σε χρόνο

.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.
Η μονοτονία μιας συνάρτησης δεν είναι κάτι που το δηλώνουμε έτσι απλά, χωρίς τεκμηρίωση. Σαφώς και θέλει απόδειξη!
Γιώργο νομίζω ότι οι πιτσιρικάδες(στο μάτι) τέτοιες αποδείξεις τις κάνουν στο μυαλό τους σε χρόνο .

Το καταλαβαίνω αυτό που λες Σταύρο, αλλά παρόλα αυτά, νομίζω ότι χρειάζεται απόδειξη, αν η άσκηση τεθεί σε γραπτή εξέταση. Ας μην ξεχνάμε ότι το σχολικό βιβλίο ζητάει τη μονοτονία πολύ πιο απλών συναρτήσεων.

Ορέστης Λιγνός · #8

george visvikis έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.
Η μονοτονία μιας συνάρτησης δεν είναι κάτι που το δηλώνουμε έτσι απλά, χωρίς τεκμηρίωση. Σαφώς και θέλει απόδειξη!
Γιώργο νομίζω ότι οι πιτσιρικάδες(στο μάτι) τέτοιες αποδείξεις τις κάνουν στο μυαλό τους σε χρόνο .
Το καταλαβαίνω αυτό που λες Σταύρο, αλλά παρόλα αυτά, νομίζω ότι χρειάζεται απόδειξη, αν η άσκηση τεθεί σε γραπτή εξέταση. Ας μην ξεχνάμε ότι το σχολικό βιβλίο ζητάει τη μονοτονία πολύ πιο απλών συναρτήσεων.

Στο

, συνήθως, παραλείπουμε τα προφανή και εύκολα κομμάτια της άσκησης λόγω της πληκτρολόγησης.

Στο

ΔΕΝ γράφουμε σαν μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων, για να γράφουμε με λεπτομέρειες τα πάντα.

Σκιαγραφούμε την απόδειξη, αποφεύγουμε τις αναλυτικές πράξεις (π.χ. εφαρμογή Π.Θ.) , γιατί σκοπός είναι να παρακολουθήσει κάποιος την σκέψη μας, και όχι τις λογιστικές μας ικανότητες!

Εξάλλου, όλοι στο

αυτό κάνουν, όπως π.χ. έχουμε εδώ , όπου η απόδειξη της μονοτονίας της συνάρτησης ΛΕΙΠΕΙ, και ο μαθητής θα έπαιρνε ΜΗΔΕΝ σχολείο!

#9

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
george visvikis έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.
Η μονοτονία μιας συνάρτησης δεν είναι κάτι που το δηλώνουμε έτσι απλά, χωρίς τεκμηρίωση. Σαφώς και θέλει απόδειξη!
Γιώργο νομίζω ότι οι πιτσιρικάδες(στο μάτι) τέτοιες αποδείξεις τις κάνουν στο μυαλό τους σε χρόνο .
Το καταλαβαίνω αυτό που λες Σταύρο, αλλά παρόλα αυτά, νομίζω ότι χρειάζεται απόδειξη, αν η άσκηση τεθεί σε γραπτή εξέταση. Ας μην ξεχνάμε ότι το σχολικό βιβλίο ζητάει τη μονοτονία πολύ πιο απλών συναρτήσεων.
Στο , συνήθως, παραλείπουμε τα προφανή και εύκολα κομμάτια της άσκησης λόγω της πληκτρολόγησης.

Στο ΔΕΝ γράφουμε σαν μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων, για να γράφουμε με λεπτομέρειες τα πάντα.

Σκιαγραφούμε την απόδειξη, αποφεύγουμε τις αναλυτικές πράξεις (π.χ. εφαρμογή Π.Θ.) , γιατί σκοπός είναι να παρακολουθήσει κάποιος την σκέψη μας, και όχι τις λογιστικές μας ικανότητες!

Εξάλλου, όλοι στο αυτό κάνουν, όπως π.χ. έχουμε εδώ , όπου η απόδειξη της μονοτονίας της συνάρτησης ΛΕΙΠΕΙ, και ο μαθητής θα έπαιρνε ΜΗΔΕΝ σχολείο!

Σχολιάζω αυτά που έχω υπογραμμίσει με κόκκινο. Οι δύο ασκήσεις δεν μπορούν να συγκριθούν γιατί ανήκουν σε διαφορετικούς φακέλους, εκ των οποίων ο ένας δεν είναι κατ' ανάγκη σχολικός.

Η απάντηση λοιπόν που δίνεται στην άσκηση της παραπομπής, δεν είναι απάντηση μαθητή σε γραπτή εξέταση. Επιπλέον, όπως σχολιάζει ο κ. Λάμπρου το θέμα είχε τεθεί σε ΑΣΕΠ. Η δε συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\ln x}}{x}}$ είναι ήδη πασίγνωστη από τη Γ' Λυκείου, πόσο μάλλον σε διαγωνισμό ΑΣΕΠ.

Η παρούσα όμως άσκηση βρίσκεται σε φάκελο ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ και υπάρχει η ένδειξη ότι εξετάζεται η ύλη της Β' Λυκείου. Η απάντηση λοιπόν που απαιτείται είναι ΜΑΘΗΤΙΚΗ!

Ορέστης Λιγνός · #10

george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
george visvikis έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

Η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.
Η μονοτονία μιας συνάρτησης δεν είναι κάτι που το δηλώνουμε έτσι απλά, χωρίς τεκμηρίωση. Σαφώς και θέλει απόδειξη!
Γιώργο νομίζω ότι οι πιτσιρικάδες(στο μάτι) τέτοιες αποδείξεις τις κάνουν στο μυαλό τους σε χρόνο .
Το καταλαβαίνω αυτό που λες Σταύρο, αλλά παρόλα αυτά, νομίζω ότι χρειάζεται απόδειξη, αν η άσκηση τεθεί σε γραπτή εξέταση. Ας μην ξεχνάμε ότι το σχολικό βιβλίο ζητάει τη μονοτονία πολύ πιο απλών συναρτήσεων.
Στο , συνήθως, παραλείπουμε τα προφανή και εύκολα κομμάτια της άσκησης λόγω της πληκτρολόγησης.

Στο ΔΕΝ γράφουμε σαν μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων, για να γράφουμε με λεπτομέρειες τα πάντα.

Σκιαγραφούμε την απόδειξη, αποφεύγουμε τις αναλυτικές πράξεις (π.χ. εφαρμογή Π.Θ.) , γιατί σκοπός είναι να παρακολουθήσει κάποιος την σκέψη μας, και όχι τις λογιστικές μας ικανότητες!

Εξάλλου, όλοι στο αυτό κάνουν, όπως π.χ. έχουμε εδώ , όπου η απόδειξη της μονοτονίας της συνάρτησης ΛΕΙΠΕΙ, και ο μαθητής θα έπαιρνε ΜΗΔΕΝ σχολείο!
Σχολιάζω αυτά που έχω υπογραμμίσει με κόκκινο. Οι δύο ασκήσεις δεν μπορούν να συγκριθούν γιατί ανήκουν σε διαφορετικούς φακέλους, εκ των οποίων ο ένας δεν είναι κατ' ανάγκη σχολικός.

Η απάντηση λοιπόν που δίνεται στην άσκηση της παραπομπής, δεν είναι απάντηση μαθητή σε γραπτή εξέταση. Επιπλέον, όπως σχολιάζει ο κ. Λάμπρου το θέμα είχε τεθεί σε ΑΣΕΠ. Η δε συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\ln x}}{x}}$ είναι ήδη πασίγνωστη από τη Γ' Λυκείου, πόσο μάλλον σε διαγωνισμό ΑΣΕΠ.

Η παρούσα όμως άσκηση βρίσκεται σε φάκελο ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ και υπάρχει η ένδειξη ότι εξετάζεται η ύλη της Β' Λυκείου. Η απάντηση λοιπόν που απαιτείται είναι ΜΑΘΗΤΙΚΗ!

Επαναλαμβάνω αυτά που δεν σχολιάστηκαν :

Στο ,

συνήθως, παραλείπουμε τα προφανή και εύκολα κομμάτια της άσκησης λόγω της πληκτρολόγησης.

Στο

, ΔΕΝ γράφουμε σαν μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων, για να γράφουμε με λεπτομέρειες τα πάντα.

Σκιαγραφούμε την απόδειξη, αποφεύγουμε τις αναλυτικές πράξεις (π.χ. εφαρμογή Π.Θ.) , γιατί σκοπός είναι να παρακολουθήσει κάποιος την σκέψη μας, και όχι τις λογιστικές μας ικανότητες!

Είτε είναι πασίγνωστα από τη Γ' Λυκείου, είτε είναι τετριμμένα πάντα υπάρχουν κάποιοι που δεν
τα ξέρουν και ας είναι για ΑΣΕΠ.
Αυτοί δεν πρέπει να μάθουν ;

Kαι αν είναι έτσι πασίγνωστο για τον ΑΣΕΠ τότε έτσι και εγώ το θεώρησα
τετριμμένο και ΑΠΛΟ την απόδειξη της μονοτονίας.

Αλλά χάνουμε την ουσία και δεν βλέπουμε το προφανές.

Άλλο να αποδείξω την μονοτονία μιας δύσκολης συνάρτησης που τότε έχει αξία και άλλο
να δείξω με τον ορισμό απλά την μονοτονία , μία απλή κατάσταση.

Δεν προσφέρω τίποτα σε όποιον είναι στο mathematica, που προφανώς έχει ένα επίπεδο.
Γιατί όπως όλοι έχουν παραδεχτεί το επίπεδο του mathematica είναι πολύ ανεβασμένο.
Έτσι δεν γράφουμε αναλυτικά κάτι πολύ απλό.

Μήπως θα έπρεπε να βρω αναλυτικά και το πεδίο ορισμού ;
Μήπως θα έπρεπε να πω αναλυτικά γιατί έχει μοναδική ρίζα ;
Μήπως .. μήπως … ΗΜΑΡΤΟΝ !!!

Από την άλλη δεν υπάρχει και λόγος ! Για ποιους μαθητές να γράψεις αναλυτικά ;
Όλοι κι όλοι 5-6 είμαστε (ενεργοί) και αυτοί είμαι σίγουρος ότι κατάλαβαν γιατί είναι γάτοι !!

Εάν κάποιος δεν ξέρει να αποδείξει γιατί η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα,
τότε το mathematica όπως έχω διαβάσει δεν είναι φροντιστήριο για να μάθει
κάποιον από την αρχή μαθηματικά.

Θα δώσω ένα παράδειγμα : Πολλές φορές λέμε ότι το τετράπλευρο
ABCD

είναι εγγράψιμο και παραλείπουμε να δικαιολογήσουμε γιατί είναι.
Το θεωρούμε πολύ εύκολο κ.τ.λ. .

Η απάντηση λοιπόν είναι ΜΑΘΗΤΙΚΗ! Όσο τουλάχιστον και των άλλων που παραλείπουν και αυτοί τα προφανή για την ΟΥΣΙΑ !!!

Με καταλαβαίνεις τώρα κύριε Γιώργο ;

#11

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Επαναλαμβάνω αυτά που δεν σχολιάστηκαν :

Θα απαντήσω σε όλα, για να μην φανεί ότι υπεκφεύγω.

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Στο , συνήθως, παραλείπουμε τα προφανή και εύκολα κομμάτια της άσκησης λόγω της πληκτρολόγησης.

Δεν υπάρχει μεγαλύτερη παρανόηση από το τι είναι προφανές και εύκολο. Όπως γνωρίζουν όλοι οι συνάδελφοι, η λέξη Προφανώς είναι καμπανάκι κινδύνου για κάθε διορθωτή. Από την

ετή μου πείρα, έχω διαπιστώσει ότι σπάνια, τα δηλούμενα ως εύκολα και προφανή, είναι πράγματι προφανή, ενώ τις περισσότερες φορές απαιτούν μακροσκελή απόδειξη.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Στο , ΔΕΝ γράφουμε σαν μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων, για να γράφουμε με λεπτομέρειες τα πάντα.
Σκιαγραφούμε την απόδειξη, αποφεύγουμε τις αναλυτικές πράξεις (π.χ. εφαρμογή Π.Θ.) , γιατί σκοπός είναι να παρακολουθήσει κάποιος την σκέψη μας, και όχι τις λογιστικές μας ικανότητες!

Ποιος είπε ότι οι μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων γράφουν με λεπτομέρειες τα πάντα; Τα υπολογιστικά κομμάτια πολλές φορές παραλείπονται. Η τεκμηρίωση όμως στα κομβικά σημεία μιας άσκησης είναι απαραίτητη. Όσο για το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι θέμα φακέλου. Σε φάκελο Β' Λυκείου, φυσικά και θα γράψουμε απευθείας το αποτέλεσμα αποφεύγοντας τις ενδιάμεσες πράξεις. Ωστόσο, σε φάκελο Β' Γυμνασίου, είμαστε υποχρεωμένοι να πάμε αναλυτικά, γιατί αν το διαβάσει ένας μαθητής αυτής της τάξης θα σπάει το κεφάλι του να καταλάβει τι έγινε.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Είτε είναι πασίγνωστα από τη Γ' Λυκείου, είτε είναι τετριμμένα πάντα υπάρχουν κάποιοι που δεν
τα ξέρουν και ας είναι για ΑΣΕΠ.
Αυτοί δεν πρέπει να μάθουν ;
Kαι αν είναι έτσι πασίγνωστο για τον ΑΣΕΠ τότε έτσι και εγώ το θεώρησα
τετριμμένο και ΑΠΛΟ την απόδειξη της μονοτονίας.

Εδώ επιχειρείς και πάλι να συγκρίνεις τα ασύγκριτα. Από τη μία έχουμε ένα διαγωνισμό ανάμεσα σε ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ και διαβάζω έκπληκτος ότι το θέμα ενός τέτοιου διαγωνισμού χαρακτηρίζεται ως τετριμμένο και ΑΠΛΟ!!! Από την άλλη έχουμε μία άσκηση που δίνεται με την ρητή ένδειξη ΜΟΝΟ για μαθητές! Προφανώς (εδώ ταιριάζει το προφανώς) η σύγκριση είναι ατυχής!

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Από την άλλη δεν υπάρχει και λόγος ! Για ποιους μαθητές να γράψεις αναλυτικά ;
Όλοι κι όλοι 5-6 είμαστε (ενεργοί) και αυτοί είμαι σίγουρος ότι κατάλαβαν γιατί είναι γάτοι !!

Εδώ διακρίνω μία γενικότερη απαξίωση προς όλο το

, το οποίο αριθμεί χιλιάδες μέλη και όχι 5-6 ενεργούς. Όταν λύνουμε μία άσκηση, δεν το κάνουμε για τους γάτους, αλλά για όλα τα μέλη. Κυρίως, όμως, σεβόμαστε τους πιο αδύναμους μαθητές, οι οποίοι έχουν περισσότερη ανάγκη να αποκομίσουν κάτι θετικό από εκείνους που γνωρίζουν περισσότερα. Βοηθάμε τους πιο αδύναμους μαθητές και δεν τους πετάμε στον Καιάδα!

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Εάν κάποιος δεν ξέρει να αποδείξει γιατί η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα,
τότε το mathematica όπως έχω διαβάσει δεν είναι φροντιστήριο για να μάθει
κάποιον από την αρχή μαθηματικά.

Κι εδώ υπάρχει επίσης παρανόηση. Το

όντως δεν είναι φροντιστήριο για να λύνει ασκήσεις, που έχουν δοθεί από τους καθηγητές του σχολείου ως εργασία για το σπίτι. Ο κάθε μαθητής όμως, έχει δικαίωμα να μπορεί να κατανοήσει τη λύση μιας άσκησης. Θα επιμείνω και πάλι στο φάκελο. Αλλιώς απαντούμε στο Γυμνάσιο, αλλιώς στο Λύκειο, αλλιώς σε διαγωνισμούς(Juniors, Seniors), αλλιώς σε φάκελο καθηγητή και αλλιώς σε φάκελο ΜΟΝΟ για μαθητές. Αυτό τον τελευταίο τον διαβάζουν κυρίως μαθητές και τεστάρουν τις γνώσεις τους. Αν κάποιος μαθητής δεν κατανοήσει μια λύση, όχι επειδή έχει ελλιπείς γνώσεις, αλλά επειδή η λύση είναι ελλιπής, τότε ενδέχεται να απογοητευτεί και, πιστεύοντας ότι αγνοεί πράγματα τα οποία θα έπρεπε να γνωρίζει, μελλοντικά να τα παρατήσει. Αυτό είναι κάτι που απευχόμαστε. Στόχος μας είναι να παροτρύνουμε τα παιδιά να ασχοληθούν με τα μαθηματικά και όχι να τα αποτρέψουμε, δίνοντας αστραπιαίες λύσεις κι όποιος καταλάβει, κατάλαβε.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Θα δώσω ένα παράδειγμα : Πολλές φορές λέμε ότι το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο και παραλείπουμε να δικαιολογήσουμε γιατί είναι.
Το θεωρούμε πολύ εύκολο κ.τ.λ. .

Εδώ μου δίνεται η ευκαιρία να απαντήσω γενικότερα. Όλα εξαρτώνται από το είδος της άσκησης αφενός και από τη σχολική τάξη στην οποία απευθύνεται αφετέρου. Αν η άσκηση ζητάει π. χ, να δείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, τότε πρέπει να δώσουμε πλήρη αιτιολόγηση. Αν όμως το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι ένα από τα πολλά βήματα που απαιτούνται, για να φτάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα, τότε απλώς το αναφέρουμε. Αν πάλι σε άσκηση Α' Γυμνασίου γράψουμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ, τότε είμαστε υποχρεωμένοι να αναφέρουμε ποιες είναι οι παράλληλες και από ποια ευθεία τέμνονται. Φαίνεται λοιπόν ότι δεν υπάρχει κανόνας ως προς την αιτιολόγηση.
Είναι πλέον σαφές ότι η ένστασή μου είναι ως προς τον φάκελο. Ούτε εμένα μου αρέσει να γράφω αναλυτικά, πασίγνωστα πράγματα. Υπάρχουν όμως φορές που πρέπει να το κάνω, όπως εδώ, εδώ, εδώ και σε πολλές άλλες περιπτώσεις, όπου λύσεις μιας σειράς, γίνονται κατά πολύ εκτενέστερες προς όφελος πάντα των μαθητών.

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Με καταλαβαίνεις τώρα κύριε Γιώργο ;

Το θέμα είναι αν με καταλαβαίνεις εσύ!

Ορέστης Λιγνός · #12

george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε: Επαναλαμβάνω αυτά που δεν σχολιάστηκαν :
Θα απαντήσω σε όλα, για να μην φανεί ότι υπεκφεύγω.
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Στο , συνήθως, παραλείπουμε τα προφανή και εύκολα κομμάτια της άσκησης λόγω της πληκτρολόγησης.
Δεν υπάρχει μεγαλύτερη παρανόηση από το τι είναι προφανές και εύκολο. Όπως γνωρίζουν όλοι οι συνάδελφοι, η λέξη Προφανώς είναι καμπανάκι κινδύνου για κάθε διορθωτή. Από την ετή μου πείρα, έχω διαπιστώσει ότι σπάνια, τα δηλούμενα ως εύκολα και προφανή, είναι πράγματι προφανή, ενώ τις περισσότερες φορές απαιτούν μακροσκελή απόδειξη.
Ορέστης Λιγνός έγραψε: Στο , ΔΕΝ γράφουμε σαν μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων, για να γράφουμε με λεπτομέρειες τα πάντα.
Σκιαγραφούμε την απόδειξη, αποφεύγουμε τις αναλυτικές πράξεις (π.χ. εφαρμογή Π.Θ.) , γιατί σκοπός είναι να παρακολουθήσει κάποιος την σκέψη μας, και όχι τις λογιστικές μας ικανότητες!
Ποιος είπε ότι οι μαθητές Πανελληνίων εξετάσεων γράφουν με λεπτομέρειες τα πάντα; Τα υπολογιστικά κομμάτια πολλές φορές παραλείπονται. Η τεκμηρίωση όμως στα κομβικά σημεία μιας άσκησης είναι απαραίτητη. Όσο για το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι θέμα φακέλου. Σε φάκελο Β' Λυκείου, φυσικά και θα γράψουμε απευθείας το αποτέλεσμα αποφεύγοντας τις ενδιάμεσες πράξεις. Ωστόσο, σε φάκελο Β' Γυμνασίου, είμαστε υποχρεωμένοι να πάμε αναλυτικά, γιατί αν το διαβάσει ένας μαθητής αυτής της τάξης θα σπάει το κεφάλι του να καταλάβει τι έγινε.
Ορέστης Λιγνός έγραψε: Είτε είναι πασίγνωστα από τη Γ' Λυκείου, είτε είναι τετριμμένα πάντα υπάρχουν κάποιοι που δεν
τα ξέρουν και ας είναι για ΑΣΕΠ.
Αυτοί δεν πρέπει να μάθουν ;
Kαι αν είναι έτσι πασίγνωστο για τον ΑΣΕΠ τότε έτσι και εγώ το θεώρησα
τετριμμένο και ΑΠΛΟ την απόδειξη της μονοτονίας.
Εδώ επιχειρείς και πάλι να συγκρίνεις τα ασύγκριτα. Από τη μία έχουμε ένα διαγωνισμό ανάμεσα σε ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ και διαβάζω έκπληκτος ότι το θέμα ενός τέτοιου διαγωνισμού χαρακτηρίζεται ως τετριμμένο και ΑΠΛΟ!!! Από την άλλη έχουμε μία άσκηση που δίνεται με την ρητή ένδειξη ΜΟΝΟ για μαθητές! Προφανώς (εδώ ταιριάζει το προφανώς) η σύγκριση είναι ατυχής!
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Από την άλλη δεν υπάρχει και λόγος ! Για ποιους μαθητές να γράψεις αναλυτικά ;
Όλοι κι όλοι 5-6 είμαστε (ενεργοί) και αυτοί είμαι σίγουρος ότι κατάλαβαν γιατί είναι γάτοι !!
Εδώ διακρίνω μία γενικότερη απαξίωση προς όλο το , το οποίο αριθμεί χιλιάδες μέλη και όχι 5-6 ενεργούς. Όταν λύνουμε μία άσκηση, δεν το κάνουμε για τους γάτους, αλλά για όλα τα μέλη. Κυρίως, όμως, σεβόμαστε τους πιο αδύναμους μαθητές, οι οποίοι έχουν περισσότερη ανάγκη να αποκομίσουν κάτι θετικό από εκείνους που γνωρίζουν περισσότερα. Βοηθάμε τους πιο αδύναμους μαθητές και δεν τους πετάμε στον Καιάδα!
Ορέστης Λιγνός έγραψε: Εάν κάποιος δεν ξέρει να αποδείξει γιατί η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα,
τότε το mathematica όπως έχω διαβάσει δεν είναι φροντιστήριο για να μάθει
κάποιον από την αρχή μαθηματικά.
Κι εδώ υπάρχει επίσης παρανόηση. Το όντως δεν είναι φροντιστήριο για να λύνει ασκήσεις, που έχουν δοθεί από τους καθηγητές του σχολείου ως εργασία για το σπίτι. Ο κάθε μαθητής όμως, έχει δικαίωμα να μπορεί να κατανοήσει τη λύση μιας άσκησης. Θα επιμείνω και πάλι στο φάκελο. Αλλιώς απαντούμε στο Γυμνάσιο, αλλιώς στο Λύκειο, αλλιώς σε διαγωνισμούς(Juniors, Seniors), αλλιώς σε φάκελο καθηγητή και αλλιώς σε φάκελο ΜΟΝΟ για μαθητές. Αυτό τον τελευταίο τον διαβάζουν κυρίως μαθητές και τεστάρουν τις γνώσεις τους. Αν κάποιος μαθητής δεν κατανοήσει μια λύση, όχι επειδή έχει ελλιπείς γνώσεις, αλλά επειδή η λύση είναι ελλιπής, τότε ενδέχεται να απογοητευτεί και, πιστεύοντας ότι αγνοεί πράγματα τα οποία θα έπρεπε να γνωρίζει, μελλοντικά να τα παρατήσει. Αυτό είναι κάτι που απευχόμαστε. Στόχος μας είναι να παροτρύνουμε τα παιδιά να ασχοληθούν με τα μαθηματικά και όχι να τα αποτρέψουμε, δίνοντας αστραπιαίες λύσεις κι όποιος καταλάβει, κατάλαβε.
Ορέστης Λιγνός έγραψε: Θα δώσω ένα παράδειγμα : Πολλές φορές λέμε ότι το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο και παραλείπουμε να δικαιολογήσουμε γιατί είναι.
Το θεωρούμε πολύ εύκολο κ.τ.λ. .
Εδώ μου δίνεται η ευκαιρία να απαντήσω γενικότερα. Όλα εξαρτώνται από το είδος της άσκησης αφενός και από τη σχολική τάξη στην οποία απευθύνεται αφετέρου. Αν η άσκηση ζητάει π. χ, να δείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, τότε πρέπει να δώσουμε πλήρη αιτιολόγηση. Αν όμως το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι ένα από τα πολλά βήματα που απαιτούνται, για να φτάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα, τότε απλώς το αναφέρουμε. Αν πάλι σε άσκηση Α' Γυμνασίου γράψουμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ, τότε είμαστε υποχρεωμένοι να αναφέρουμε ποιες είναι οι παράλληλες και από ποια ευθεία τέμνονται. Φαίνεται λοιπόν ότι δεν υπάρχει κανόνας ως προς την αιτιολόγηση.
Είναι πλέον σαφές ότι η ένστασή μου είναι ως προς τον φάκελο. Ούτε εμένα μου αρέσει να γράφω αναλυτικά, πασίγνωστα πράγματα. Υπάρχουν όμως φορές που πρέπει να το κάνω, όπως εδώ, εδώ, εδώ και σε πολλές άλλες περιπτώσεις, όπου λύσεις μιας σειράς, γίνονται κατά πολύ εκτενέστερες προς όφελος πάντα των μαθητών.
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Με καταλαβαίνεις τώρα κύριε Γιώργο ;
Το θέμα είναι αν με καταλαβαίνεις εσύ!

Γιώργο και κατάλαβα και χάρηκα που μιλήσαμε και διαφωνήσαμε. Κράτα τις απόψεις σου και εγώ τις δικές μου.

Τώρα περί απαξίωσης - Καιάδα και άλλα που γράφεις, είναι καθαρά διαστρέβλωση των απόψεων μου, που έντεχνα και με πολύ φαντασία παραποιείς, και φαίνεται ότι τα προφανή δεν είναι και τόσο προφανή!

Δεν χρειάζεται να τα σπάσουμε ... τα αυγά! Ας περιμένουμε, σε λίγες μέρες έρχεται το Πάσχα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

Πάντως εγώ συμφωνώ με τον Ορέστη.
Οι απόψεις του Γιώργου είναι οι απόψεις που επικρατούν.
Όι απόψεις του Ορέστη είναι σταγόνα στον ωκεανό.
Πιστεύω ότι είναι αυτό που είναι γιατί έχει αυτές τις απόψεις.

#14

Ας μην δημιουργούμε θέματα από το τίποτα.

Παρακαλώ η συζήτηση να κλείσει εδώ. Όποιος θέλει ας δώσει μια απόδειξη για την μονοτονία της συνάρτησης καθώς και για το ότι το πεδίο ορισμού είναι όντως το [0,4]

ας το πράξει.

Christos.N · #15

Θα κάνω ένα δάνειο απο την δημοσίευση του Ορέστη

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Βρίσκουμε ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A=[0,4]

.

πράγματι από τους περιορισμούς για τις υπόριζες ποσότητες:

$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt 5 - \sqrt x \ge 0\\ 3 - \sqrt {5 + x} \ge 0 \end{array} \right\} \Rightarrow ...\left. \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \le 5\\ x \le 4 \end{array} \right\} \Rightarrow 0 \le x \le 4}$

Θα δείξουμε ότι η

, στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.

έστω $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left[ {0,4} \right]}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} {x_1} < {x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x_1}} < \sqrt {{x_2}} \\ \sqrt {5 + {x_1}} < \sqrt {5 + {x_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 - \sqrt {{x_1}} > 5 - \sqrt {{x_2}} \\ 3 - \sqrt {5 + {x_1}} > 3 - \sqrt {5 + {x_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {5 - \sqrt {{x_1}} } < - \sqrt {5 - \sqrt {{x_2}} } \\ - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_1}} } < - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_2}} } \end{array} \right. \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow - \sqrt {5 - \sqrt {{x_1}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_1}} } < - \sqrt {5 - \sqrt {{x_2}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_2}} } \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt {{x_1}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_1}} } < 3 - \sqrt {5 - \sqrt {{x_2}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_2}} } \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) \end{array}}$

Όμως, f(4)=0

, άρα το

είναι η μοναδική ρίζα της

.

Καθώς για $\displaystyle{x < 4 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 4 \right) = 0}$

Τελικά, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x=4

.

apotin · #16

george visvikis έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } = \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$

Για ένα 24ωρο

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε $0 \leqslant x \leqslant 4$

Για να έχει λύση πρέπει:

$\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 4$

Άρα $\displaystyle{x=4}$ που επαληθεύει.

Christos.N · #17

apotin έγραψε: Η εξίσωση ορίζεται για κάθε $0 \leqslant x \leqslant 4$

Για να έχει λύση πρέπει:

$\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 4$

Άρα $\displaystyle{x=4}$ που επαληθεύει.

Αν πούμε μάλιστα ότι και $\displaystyle{3 - \sqrt {5 + x} \ge 0 \Rightarrow x \le 4}$ δεν χρειάζεται να μιλήσουμε για πεδίο ορισμού
( Υ.Γ.: ή τουλάχιστον να το κρύψουμε)

#18

apotin έγραψε:
george visvikis έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } = \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$

Για ένα 24ωρο
Η εξίσωση ορίζεται για κάθε $0 \leqslant x \leqslant 4$

Για να έχει λύση πρέπει:

$\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 4$

Άρα $\displaystyle{x=4}$ που επαληθεύει.

Αυτή ακριβώς τη λύση είχα υπόψη μου όταν έβαλα την άσκηση

#19

Christos.N έγραψε:Θα κάνω ένα δάνειο απο την δημοσίευση του Ορέστη

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=\displaystyle{\sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt x } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + x} } }$ .

Βρίσκουμε ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το .

πράγματι από τους περιορισμούς για τις υπόριζες ποσότητες:

$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt 5 - \sqrt x \ge 0\\ 3 - \sqrt {5 + x} \ge 0 \end{array} \right\} \Rightarrow ...\left. \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \le 5\\ x \le 4 \end{array} \right\} \Rightarrow 0 \le x \le 4}$

Θα δείξουμε ότι η , στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως αύξουσα.

έστω $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left[ {0,4} \right]}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} {x_1} < {x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x_1}} < \sqrt {{x_2}} \\ \sqrt {5 + {x_1}} < \sqrt {5 + {x_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 - \sqrt {{x_1}} > 5 - \sqrt {{x_2}} \\ 3 - \sqrt {5 + {x_1}} > 3 - \sqrt {5 + {x_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {5 - \sqrt {{x_1}} } < - \sqrt {5 - \sqrt {{x_2}} } \\ - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_1}} } < - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_2}} } \end{array} \right. \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow - \sqrt {5 - \sqrt {{x_1}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_1}} } < - \sqrt {5 - \sqrt {{x_2}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_2}} } \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sqrt 3 - \sqrt {5 - \sqrt {{x_1}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_1}} } < 3 - \sqrt {5 - \sqrt {{x_2}} } - \sqrt {3 - \sqrt {5 + {x_2}} } \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) \end{array}}$

Όμως, , άρα το είναι η μοναδική ρίζα της .

Καθώς για $\displaystyle{x < 4 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 4 \right) = 0}$

Τελικά, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την .

Σ' ευχαριστώ Χρήστο που μπήκες στον κόπο να υπολογίσεις το πεδίο ορισμού και να εξετάσεις

τη μονοτονία της συνάρτησης

Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Re: Βολική εξίσωση; (Άλγεβρα Β)

Μέλη σε σύνδεση