Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2013

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 6η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. (*)

1. Την πρώτη μέρα του σχολείου, στο διάλειμμα, η δασκάλα ξέχασε το τετράδιο προόδου πάνω στην έδρα και τα παιδιά άρχισαν να γράφουν σε αυτό βαθμούς. Κάθε κορίτσι έβαλε 18 Α και κάθε αγόρι 11 Γ. Στο τέλος προέκυψε ότι για κάθε κορίτσι γράφτηκαν 7 βαθμοί και για κάθε αγόρι 21 βαθμοί. Ποιοι ήταν περισσότεροι, τα αγόρια ή τα κορίτσια;

2. 40 αδειούχοι εγκατέλειψαν την Αθήνα. Δυο την 1 Ιουλίου, δύο στις 2 Ιουλίου,…, δυο στις 20 Ιουλίου. Επέστρεψαν τον Αύγουστο. Δυο την 1 Αυγούστου, δυο στις 2 Αυγούστου,…, δυο στις 20 Αυγούστου. Όλοι οι αδειούχοι έφυγαν το μεσημέρι και επέστρεψαν το μεσημέρι. Να αποδείξετε, ότι κάποιοι δυο έλλειψαν τον ίδιο αριθμό ημερών.

3. Ο μανιακός Βασίλης, εξετάζει κατά πόσο μεταβάλλεται το γινόμενο των ψηφίων ενός αριθμού αν αυξηθεί ο αριθμός κατά

. Έχοντας αυτό στο μυαλό για κάθε αριθμό από το 2013

έως το

κατέγραψε στο τετράδιο αυτή την μεταβολή (π.χ. για τον αριθμό 11111

κατέγραψε το

και για τον αριθμό 11119

κατέγραψε την αρνητική μεταβολή $-6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 9$ ). Με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που κατέγραψε στο τετράδιο ο Βασίλης;

4. Οι εκατομμυριούχοι Βασίλης, Πέτρος και Κώστας έχουν στα πορτοφόλια τους μόνο νομίσματα των X ευρώ και νομίσματα των Y σεντς (τα X και Y είναι φυσικοί αριθμοί, Y < 100

). Για την καινούργια του Lamborghini ο Βασίλης έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα και έλαβε ως ρέστα ένα κουτί σπίρτα αξίας 1 σεντ. Ο Πέτρος κι αυτός, για την ίδια Lamborghini έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα αλλά σαν ρέστα του έδωσαν ένα αυτοκίνητο Yugo. Στον τυχερό Κώστα για ένα εκατομμύριο νομίσματα του έδωσαν μια Lamborghini και δυο Yugo! Να βρείτε τα X και Y.

Καταληκτική αίθουσα (**)

5. Για την παρασκευή κόλας (αναψυκτικού) χρειάζεται η γνώση 20 χημικών ενώσεων. Κάθε υπάλληλος της εταιρίας γνωρίζει 5 ενώσεις. Εξάλλου οι υπάλληλοι είναι αρκετοί τον αριθμό, ώστε κάθε δυνατή πεντάδα ενώσεων να είναι γνωστή σε κάποιον υπάλληλο. Ζητείται να χωρίσουμε τους υπαλλήλους σε μερικά τμήματα έτσι, ώστε κανένα από μόνο του να μην μπορεί να παρασκευάσει την κόλα (δηλαδή οι υπάλληλοι του τμήματος να μην γνωρίζουν όλες τις χημικές ενώσεις). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός τμημάτων που χρειάζεται να χωρισθεί η εταιρία;

6. Από τετράγωνο διαστάσεων $300 \times 300$ αποκόπηκαν μερικά κελιά, που δεν συνορεύουν ούτε κατά πλευρά ούτε κατά γωνιά (κορυφή). Ο Μιχάλης θέλει να αποκόψει από το εναπομείναν κομμάτι μια «γωνία» 3 κελιών. Ο Μιχάλης υπολόγισε όλους τους τρόπους το πώς μπορεί αυτό να γίνει και βρήκε ακριβώς 48000 τρόπους. Να αποδείξετε, ότι άφησε λάθος.

(*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν τρια από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα δυο σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.

Γιάννης Μπόρμπας · #2

2
Αριθμούμε τις μέρες από την 1η Ιουλίου μέχρι και την 20η Αυγούστου με τους αριθμούς: {1,2,...,51}

Οι μέρες που μπορούν να φύγουν είναι οι {1,2,...,20}

Ενώ αυτές που μπορούν να γυρίσουν είναι οι {32,33,...,51}

Το μέγιστο πλήθος ημερών που μπορεί να λείπει κάποιος είναι 51-1+1=51

μέρες
ενώ το ελάχιστο 32-20+1=13

μέρες.
Όμως 51-13=39

οπότε μπορούν να υπάρχουν το πολύ

άτομα που λείπουν διαφορετικές σε πλήθος μέρες οπότε
θα υπάρχει ένα ζεύγος ανθρώπων που θα λείψουν τις ίδιες σε πλήθος μέρες.

Γιάννης Μπόρμπας · #3

5
Δεν είμαι σίγουρος αλλά θα κάνω μία προσπάθεια.
Έστω T_1,T_2,...,T_n

τα τμήματα αυτά και $a_1,a_2,...,a_{20}$ τα στοιχεία.
Θεωρούμε μία καλή τοποθέτηση. Στην συνέχεια, θα προσπαθήσουμε να μεγιστοποιήσουμε το πλήθος των χημικών
που μπορούν να "χωρέσουν" σε κάθε τμήμα. Θεωρούμε επίσης X_i(a_s,a_j,a_k,a_l,a_m)

την πεντάδα στοιχείων που
γνωρίζει ο i-οστός χημικός.
Έστω ότι η T_1

δεν γνωρίζει το στοιχείο a_1

. Τότε τοποθετούμε όλους τους χημικούς από άλλα τμήματα που
έχουν πεντάδα της μορφής (a_s,a_j,a_k,a_l,a_m)

με $s\not=1$ στην T_1

για να ελαχιστοποιήσουμε τα άτομα που απομένουν
τα οποία έχουν την μορφή: (a_1,a_j,a_k,a_l,a_m)

. Όμοια υποθέτουμε ότι η T_2

δεν ξέρει το στοιχείο a_2

και με
όμοιο τρόπο τοποθετούμε τους χημικούς της μορφής (a_1,a_j,a_k,a_l,a_m)

με $j\not=2$
οπότε απομένουν οι χημικοί της μορφής: (a_1,a_2,a_k,a_l,a_m)

.
Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, καταλήγουμε στον χημικό (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)

ο οποίος θα τοποθετηθεί
στο έκτο και τελευταίο τμήμα οπότε n=6

είναι η ελάχιστη τιμή των τμημάτων.
Δεν μας συμφέρει να μην ξέρει μία ομάδα παραπάνω από ένα στοιχείο καθώς απομένουν παραπάνω χημικοί.

Γιάννης Μπόρμπας · #4

6
Έστω

το πλήθος των κελιών που αφαιρεί τα οποία δεν συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου,

το πλήθος
των κελιών που αφαιρεί τα οποία συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου αλλά δεν είναι γωνιακά και

το πλήθος των κελιών που αφαιρεί και είναι γωνιακά. Αρχικά το πλήθος των ντόμινο

που μπορούν να τοποθετηθούν στο
τετράγωνο πριν αφαιρέσουμε κελιά είναι τετραπλάσιο από τα 2x2

τετράγωνα που χωράνε στο 300x300

άρα
$4\times 299^2$ . Στην συνέχεια για κάθε κελί της μορφής

που αφαιρούμε, μειώνουμε κατά

τους τρόπους
τοποθέτησης, για κάθε κελί της μορφής

, μειώνουμε κατά

τους τρόπους τοποθέτησης ενώ για κάθε κελί της
μορφής

μειώνουμε τους τρόπους κατά

. Οπότε θα πρέπει να ισχύει ότι:
$4\times 299^2=12a+6b+3c+48000$ για κάποια a,b,c

όμως $RHS\equiv 0(\mod 3)$ ενώ $LHS\equiv 1(\mod 3)$
καταλήγοντας σε άτοπο.

Al.Koutsouridis · #5

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:6
Έστω το πλήθος των κελιών που αφαιρεί τα οποία δεν συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, το πλήθος
των κελιών που αφαιρεί τα οποία συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου αλλά δεν είναι γωνιακά και
το πλήθος των κελιών που αφαιρεί και είναι γωνιακά. Αρχικά το πλήθος των ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν στο
τετράγωνο πριν αφαιρέσουμε κελιά είναι τετραπλάσιο από τα τετράγωνα που χωράνε στο άρα
$4\times 299^2$ . Στην συνέχεια για κάθε κελί της μορφής που αφαιρούμε, μειώνουμε κατά τους τρόπους
τοποθέτησης, για κάθε κελί της μορφής , μειώνουμε κατά τους τρόπους τοποθέτησης ενώ για κάθε κελί της
μορφής μειώνουμε τους τρόπους κατά . Οπότε θα πρέπει να ισχύει ότι:
$4\times 299^2=12a+6b+3c+48000$ για κάποια όμως $RHS\equiv 0(\mod 3)$ ενώ $LHS\equiv 1(\mod 3)$
καταλήγοντας σε άτοπο.

Απλά ίσως θα ταν καλύτερο πιό αναλυτική λύση και πιο κοντά στο "λεξιλόγιο" του μέσου μαθητή Α' γυμνασίου.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: 3. Ο μανιακός Βασίλης, εξετάζει κατά πόσο μεταβάλλεται το γινόμενο των ψηφίων ενός αριθμού αν αυξηθεί ο αριθμός κατά . Έχοντας αυτό στο μυαλό για κάθε αριθμό από το έως το κατέγραψε στο τετράδιο αυτή την μεταβολή (π.χ. για τον αριθμό κατέγραψε το και για τον αριθμό κατέγραψε την αρνητική μεταβολή $-6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 9$ ). Με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που κατέγραψε στο τετράδιο ο Βασίλης;

Ας καταγράψουμε για κάθε ένα από τους αριθμούς $2013,2014,\ldots,201399999$ το γινόμενο των ψηφίων του. Έστω

το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων.

Έστω επίσης

το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων των αριθμών $2013+12,\ldots,20139999+12$ .

Τότε το ζητούμενο άθροισμα ισούται με B-A

.

Οι μόνοι αριθμοί που συνεισφέρουν στο

και όχι στο

είναι οι $20139999+1,\ldots,20139999+12$ . Δηλαδή οι $20140000,\ldots,20140011$ . Η συνολική συνεισφορά αυτών των αριθμών στο

είναι

.

Οι μόνοι αριθμοί που συνεισφέρουν στο

και όχι στο

είναι οι $2013,\ldots,2013+11$ . Δηλαδή οι $2013,\ldots,2024$ . Η συνολική συνεισφορά αυτών των αριθμών στο

είναι

.

Άρα το άθροισμα των αριθμών του Βασίλη ισούται με

.

nikkru · #7

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2013

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 6η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. (*)

4. Οι εκατομμυριούχοι Βασίλης, Πέτρος και Κώστας έχουν στα πορτοφόλια τους μόνο νομίσματα των X ευρώ και νομίσματα των Y σεντς (τα X και Y είναι φυσικοί αριθμοί, ). Για την καινούργια του Lamborghini ο Βασίλης έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα και έλαβε ως ρέστα ένα κουτί σπίρτα αξίας 1 σεντ. Ο Πέτρος κι αυτός, για την ίδια Lamborghini έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα αλλά σαν ρέστα του έδωσαν ένα αυτοκίνητο Yugo. Στον τυχερό Κώστα για ένα εκατομμύριο νομίσματα του έδωσαν μια Lamborghini και δυο Yugo! Να βρείτε τα X και Y.

Ας ονομάσουμε G την αξία ενός Yugo και L την αξία μιας Lamborghini σε σεντς και b,p,k

τα νομίσματα των Y σεντς που έδωσαν ο Βασίλης, ο Πέτρος και ο Κώστας αντίστοιχα.

Ο Βασίλης έδωσε

νομίσματα των Υ σεντς οπότε θα έδωσε 10^6-b

νομίσματα των X ευρώ.
Έτσι, προκύπτει η εξίσωση: $bY+(10^6-b)100X=L+1,\,(1)$ .
Ομοίως για τον Πέτρο έχουμε: $pY+(10^6-p)100X=L+G ,\,(2)$
και για τον Κώστα: $kY+(10^6-k)100X=L+2G ,\,(3)$ .

Αφαιρώντας τις σχέσεις μεταξύ τους έχουμε:
(Y-100X)(p-b)=G-1

και

που αν τις αφαιρέσουμε και αυτές μεταξύ τους βρίσκουμε (Y-100X)(k+b-2p)=1

.

Άρα, $( Y-100X=1\, \wedge \, k+b-2p=1)\,$ ή $(Y-100X=-1 \,\wedge \, k+b-2p=-1)$ .

Αφού (από τα δεδομένα) Y < 100

, βρίσκουμε: Y=99

σεντς και

ευρώ.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: 1. Την πρώτη μέρα του σχολείου, στο διάλειμμα, η δασκάλα ξέχασε το τετράδιο προόδου πάνω στην έδρα και τα παιδιά άρχισαν να γράφουν σε αυτό βαθμούς. Κάθε κορίτσι έβαλε 18 Α και κάθε αγόρι 11 Γ. Στο τέλος προέκυψε ότι για κάθε κορίτσι γράφτηκαν 7 βαθμοί και για κάθε αγόρι 21 βαθμοί. Ποιοι ήταν περισσότεροι, τα αγόρια ή τα κορίτσια;

Ωραία ασκησούλα, ότι πρέπει για εισαγωγική άσκηση σε έναν διαγωνισμό με πρωτότυπα θέματα.

Αν

το πλήθος των κοριστιών και

των αγοριών, τότε μετρώντας με δύο διαφορετικούς τρόπους το σύνολο των γραμμένων βαθμών προκύπτει ότι 18K+11A = 7K+21A

. Άρα

, οπότε $K = \frac {10}{11} A < A$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)

Μέλη σε σύνδεση